科學活動

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重力下的最快下降曲線

目的

體驗重力下的最快下降曲線(brachistochrone)

實驗

實驗裝置：

製作相同起終點的直線、擺線與其他曲線路徑的鋼珠軌道。

觀察兩球由靜止釋放，經下列路徑的時間比較：(軌道右下方紅點為終點)

1.擺線與直線。

2.擺線與比擺線陡的曲線。

3.由擺線中不同點下降。

原理思考

1.擺線與直線比較，球似乎走路徑較長且較陡的擺線較快；然而擺線與比擺線更長更陡的曲線比較，球卻也是走擺線較快，為什麼？

2.球由擺線中不同點為起點靜止釋放，為什麼卻會花同樣時間抵達終點？

fig1 (1).jpeg

$t= \int_{0}^{x}\frac{\sqrt{1+\left (y^{'} \right )^{2}}}{\sqrt{2gy}}dx$

$dt= \frac{ds}{v},ds= \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}= \sqrt{1+\left ( y^{'}\right )^{2}}dx,y^{'}=v=\sqrt{2gy}$

所花時間由變分法之Euler equation可求得滿足最小時間

$x= a\left ( \theta -sin\theta \right ),y=a\left ( 1-cos\theta \right )$

，及擺線方程式。

又

$ds= \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}= a\sqrt{\left ( 1-cos\theta \right )^{2}+sin^{2}\theta }d\theta= a\sqrt{2-2cos\theta }d\theta$

$,y= a\left ( cos\theta _{0}-cos\theta \right )$

所花時間

$t= \int_{\theta _{0}}\frac{a\sqrt{2-2cos\theta }}{\sqrt{2ga\left ( cos\theta _{0}-cos\theta \right )}}d\theta= \cdots = \pi \sqrt{\frac{a}{g}}$

，即下降時間與起始角 $\theta _{0}$ 無關

討論

1.實驗中球的滾動、滑動、摩擦力對實驗結果有何影響？

2.假設通過擺線上的一點的垂直線與擺線的夾角為α，試算 $sin\alpha$ 與通過該點切線速度 $v$ 的比值。此關係與光在介質中折射角與速度的關係有何關聯？為什麼？

關於實驗

1.為使發射時間點相同，本實驗以電磁鐵吸住及釋放鐵球做為同步發射開關。

2.伽利略(Galilei)曾在1638年給出一個該曲線為圓弧的誤證。後來白努利家族(Bernoulli)對此問題的探討成為變分學的濫觴。

3.擺的等時性(tautochrone)於1673年由惠更斯(Huygens)所提出。

參考資料

“變分法上的最速降線之研究"

“Analysis by its history"

製作

v.2 曾助理、張正忠、張惟絮

指導老師

陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

拋體運動Projectile motion

目的

表現慣性定律、加速度作用與向量獨立性。

實驗

實驗裝置 : 一部在軌道上作等速直線運動的滑車，經過定點時可向上發射沙包。

1.將沙包放置於滑車發射架上，讓滑車作等速直線運動，觀察沙包經過發射點後的軌跡，滑車能再接到沙包嗎?

2.滑車末端繫上細繩，繩子經過軌道末端的滑輪垂直向下繫上一砝碼，重做實驗，滑車能再接到沙包嗎？

3.將繫繩與砝碼卸下，把軌道起點抬高，重做上述實驗，滑車能再接到沙包嗎?

4.第二版教具演示

原理思考

1.能再接到沙包的條件為何?

2.重力在砝碼上加速滑車與在斜面上加速滑車結果相同嗎?

1.由向量獨立性，如果在水平方向沒有加速度，相同初速下，車與沙包在水平方向位置相同。

2.砝碼重量經由滑輪提供車子水平方向加速度，沙包無水平加速度，故落於後方。

3.由於沿著斜面作用在車子的加速度是由重力的分量所提供，沙包亦受相同的重力分量加速，在沿斜面初速相同下，沿斜面位置將會相同。

討論

1.車子受到斜面正向力，而沙包沒有，還可以接得到？

2.若考慮上坡的情形，與下坡相同嗎？

3.加入車輪摩擦力，三種結果如何？

關於實驗

市面上有一種自動彈球的棒球玩具，可做本實驗的發射器。

參考資料

FUNNEL CART(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

FUNNEL CART WITH MASS OVER PULLEY(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

FUNNEL CART ON INCLINE(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

v.1 周瑞星
v.2 杜宗勳

指導老師

易台生、陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

投射撞擊 Projectile motion

目的

表現重力加速度的作用、向量獨立性、加速座標系統。

實驗

實驗裝置：設計讓一個球做自由落體時，同時發射對準自由落體的另一球。
1.調整發射方向於兩球的連線上。
2.將球發射，觀察兩球碰撞點。

3.用不同力量發射，重新觀察。

4.將整個發射系統設定於自由落體模式。

5.重新實驗，觀察撞擊點。

6.不同的實驗裝置演示。

原理思考

相撞的條件是什麼？

假設發射的球水平走 $L$ 的距離需時 $t$ ， $t= \frac{L}{v_{0}cos\theta }$ 。

發射的球垂直方向所走距離： $y_{1}=\left ( v_{0}sin\theta \right )t-\frac{1}{2}gt^{2}= \left ( v_{0}sin\theta \right )\left ( \frac{L}{v_{0}cos\theta } \right )-\frac{1}{2}gt^{2}= H-\frac{1}{2}gt^{2}$

掉落的球垂直方向所走距離： $y_{2}= H-\frac{1}{2}gt^{2}= y_{1}Y$

意即垂直方向所走距離相同。

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討論

1.不同重力加速度對實驗結果有何的影響？

2.將整個實驗系統順時針轉 $\theta$ ，比較兩球垂直下落距離。

3.重力場是否相當於加速座標系統？

關於實驗

因為發射的同時要讓另一顆球開始落下，常見實驗製作的方式是用電磁感應線圈做為開關。但考慮讓整個系統做自由落體，以機械連動方式設計較為堅固。

參考資料

“University Physics with Modern Physics “, 11th ed., Addison Wesley, 2004, U.S.A., p.94

ENERGY AND MOMENTUM _COLLISION AND PROJECTILE,University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility

製作

v.1 周瑞星

v.2 曾助理

指導老師

陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

雙珠競走

目的

表現速度與加速度的關係、向量分解

實驗

實驗裝置：

1. 將兩球放置釋放器上使釋放條件相同。這會使得兩球的初期運動速率相同。

2. 將球釋放，觀察哪一球先到終點。

原理思考

比較快的球何時開始加速？提供加速的條件是什麼？

因為只考慮水平方向運動，直接加諸球上的重力加速度為垂直方向可不考慮。在斜面上的球另外受到垂直於軌道的正向力，此正向力的水平分量提供球水平方向的加速度，下坡時於水平方向做加速運動。

雙珠競走自由體圖

上坡時雖為減速運動，但速度仍大於原水平速度，故兩球以同樣水平距離考慮時，有下降的球所需時間較短。如果以 $v-t$ 圖(速度 $v$ 與時間 $t$ 的關係圖)來討論，以許更容易了解。走水平直線的軌道時，球的速度都一樣，假設初速為 $v_0$ ，其 $v-t$ 圖如Fig.1所示。走下凹的軌道時，假設初速也是 $v_0$ ，其 $v-t$ 圖如Fig.2所示。

fig2 fig3

(圖中 $v$ 是「速度水平分量」)

在 $\Delta t_1$ 期間軌道的正向力提供了水平的加速度，使的球由斜面滑下時，水平的速度增加了，變成 $v(v> v_0)$ ，接著在 $\Delta t_3$ 期間以 $v$ 的速度行進，雖然在 $\Delta t_2(\Delta t_2=\Delta t_1)$ 期間減速回原本的初速 $v_0$ ，但已經超越了在水平軌道運動的球了。