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角動量守恆-進動篇

目的

表現物體轉動時角動量與力矩的關係，進而瞭解進動(prcession)現象。

實驗

實驗裝置：腳踏車輪子、棉繩、剪刀。

將輪子用兩條棉繩吊掛起來，轉動輪子後，將其中一條棉繩剪斷，觀察輪子的運動現象。

原理思考

棉繩被剪斷的一端為何不會掉下來？

進動(precession)是自轉的物體之自轉軸又繞著另一軸旋轉的現象。在此例中，自轉的輪子繞著未被剪斷的棉繩為軸旋轉。棉繩被剪斷的一端沒有隨即落下的原因，可從輪子的力矩與角動量關係（如下圖）說明。

precession
輪子在 $y$ 、 $z$ 平面的轉動產生的角動量。棉繩剪斷時因力矩產生角動量變化，所以新的角動量如圖所示。因此，輪子就以棉繩為軸，順時針方向轉動。

討論

1.陀螺的轉動與進動有何關係？

2.陀螺儀的原理是否是與進動相同？

3.天體中常見的進動現象如何解釋？

參考資料

"Physics for Scientists and engineers with Modern Physics ", International Edition., Addison Wesley, 2003, U.S.A., p.396-406.

BICYCLE WHEEL GYROSCOPE ON PIVOT(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

朱慶琪

指導老師

朱慶琪

撰稿

杜宗勳、朱慶琪

發佈於物理

念力棒

目的

探討木棒受外力產生震動時的能量傳遞現象、及兩正交震盪(orthogonal oscillation)的合成運動。

實驗

實驗裝置：一端裝有螺旋槳且棍身刻有凹槽的細木棍(稱為念力棒)、另一為細木棍 (稱為短棒)。

1.一手握念力棒。

2.另一手拿摩擦棒，食指橫跨念力棒。

3.用短棒摩擦念力棒凹槽，造成前端螺旋槳轉動，過程中念HOOEY，則會影響螺旋槳旋轉的方向。

想清楚了沒？以0.5倍慢速播放再看一次。

原理思考

1.為何念力棒的螺旋槳可以任意控制轉動方向？

2.震動的能量如何傳遞到螺旋槳？

1.短摩擦凹槽時，造成棒子的前端上下運動（垂直震盪）及左右運動（水平震盪）。這兩種震盪的方向互相垂直，合成螺旋槳的轉動運動。以食指或拇指接觸棒身，會使得接觸側的震動減弱，因而形成兩種相位差(phase difference)為180度的水平震盪。在與垂直震盪合成後，就形成了順時針及逆時針兩種轉動效果。

假設水平震盪的振幅為 $A$ 、垂直震盪的振幅為 $B$ ，振動頻率為 $\omega$ ，（由凹槽的間隔及摩擦棒子的速度決定），水平震盪與垂直震盪相位差 $\phi$ ，以方程式可表示成：

$x\left ( t \right )= Acos\left ( \omega t \right )$

$y\left ( t \right )= Bcos\left ( \omega t +\phi \right )$

以上述方程式加以計算，得

$x^{2}\left ( t \right )+y^{2}\left ( t \right )= A^{2}cos^{2}\left ( \omega t \right )+B^{2}cos^{2}\left ( \omega t+\phi \right )......\left ( 1 \right )$

考慮當 $A= B$ 且 $\phi = \frac{\pi }{2}$ 時，(1)式可化減成：

$x^{2}\left ( t \right )+y^{2}\left ( t \right )= A^{2}cos^{2}\left ( \omega t \right )+A^{2}sin^{2}\left ( \omega t+\phi \right )= A^{2}......\left ( 2 \right )$

當 $A= B$ 且 $\phi =- \frac{\pi }{2}$ 時，(1)式可化減成：

$x^{2}\left ( t \right )+y^{2}\left ( t \right )= A^{2}cos^{2}\left ( \omega t \right )+A^{2}\left [ -sin^{2}\left ( \omega t \right ) \right ]= A^{2}......\left ( 3 \right )$

(2)及(3)式均為圓的方程式，且為時間的函數，表示兩正交的震盪可以合成軌跡為圓的運動。
或以下圖表示：

hooey1

hooey2

2.手握一端為固定端，螺旋槳端為自由端；想像搖呼拉圈時，腳為固定端，腰為自由端，運用腰的擺動將能量傳遞給呼拉圈，使得呼拉圈轉動，與摩擦棒子產生的震動傳遞給螺旋槳的情形類似。

討論

1.凹槽的數量如何影響螺旋槳的運動？

2.振動頻率與螺旋槳有何關係？

3有哪些正交震盪的例子? 光學裡的線偏振與圓偏振如何利用這個系統來詮釋?

4.李沙育圖形（Lissajous pattern）可以以這個實驗來比喻嗎？有那些限制條件？材料除用細木棍外，亦可用市售竹筷子。

實驗材料

材料除用細木棍外，亦可用市售竹筷子。

參考資料

OUIJA WINDMILL (University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

An Interesting Demonstration of the Combination of Two Linear Harmonic Vibrations to Produce a Single Elliptical Vibration. The American Physics Teacher (now American Journal of Physics), 5, 175- 176.

A mechanical toy : The gee-haw whammy-diddle. The Physics Teacher, 20(9), 614- 615.

http://www.ngsir.netfirms.com/chinesehtm/Lissajous.htm

Classical Dynamics of Particles & Systems, Third Edition, Jerry B. Marion, Stephen T. Thornton, p103-106.

製作

張宇靖、杜宗勳

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪、杜宗勳

發佈於物理

誰最搖擺

目的

用簡單的器材來演示共振(resonance)的現象。

實驗

實驗裝置：塑膠長尺、塑膠氣球棒3支、橡膠吸盤（盤面直徑約3cm）6個。

1.將裝置平放於桌面上。

2.手握直尺一端，以不同的頻率搖晃。觀察氣球棒晃動的情形。

原理思考

改變擺動頻率，為何有些氣球棒晃動的幅度特別大？將汽球棒視為複擺，質量為m，其擺動週期為：

將汽球棒視為複擺，質量為 $m$ ，其擺動週期為：

T複 $= 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

其中 $d= L/2$ ，為擺支點至質心的距離，

$I$ 為複擺的轉動慣量， $d$ 為複擺質心到支點的距離。

手上施以微小振動，若振動頻率與某個特定長度的氣球棒（複擺）頻率相同，則產生共振(resonance)現象，使得該特定長度的氣球棒晃動的幅度越來越大。此強迫振盪(forced oscillation)的能量由手提供。

討論

1.試試看將頂端的吸盤取下，看其振盪的模式與加上吸盤有何不同？

2.此結構較接近單擺還是複擺？為什麼？

3.假設頻率 $f_{1}$ 會使長度 $L_{1}$ 的棒子共振，除此之外是否還有其他頻率可使吸管振動？為什麼？

4.假如要使三根棒子的振盪頻率比為1：2：3，則棒的長度大約多少？

實驗材料

1.材料可在坊間文具店購得。

2.組裝所需的材料容易取得，可以變化使用。

3.可同本網站中的實驗D11.念力擺、實驗D16.單擺與複擺做比較。

參考資料

University Physics, John Wiley & Sons, Inc, 1995, pp. 311-312.

"大學物理學(第一冊)", 十二版, 東華, 民72, 臺北, §6-5

“單擺與複擺”, 2009物理教學及示範研討會論文集, 台灣, 台北東吳大學，August 20, 2008,頁189-190.

PSYCHOACOUSTIC VIBRATION TRANSDUCER(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility).

製作

張宇靖、朱慶琪

指導老師

朱慶琪

撰稿

杜宗勳、朱慶琪

發佈於物理

重力場

目的

運用簡單的裝置，演示看不見的重力場。

實驗

實驗裝置：

使用一塊深色且柔軟度及彈性佳的布料四周用木板將之張開並固定，底座放置一塊磁鐵，便於吸住布料上方的鐵球，模擬質量較大的物體（如太空中的恆星）所形成的重力場，並以小塑膠球模擬行星。

觀察小塑膠球環繞及以較快速運動經過有重力場的不同運動狀態。

原理思考

為何會有這樣的運動狀態？

兩物體間的重力可表示為 $F=\frac{GMm}{r^{2}}$

所以當兩物體距離越近時，其作用力愈大，亦即愈易被吸引，這種力場的分佈情形，我們用重力場來形容，也就可以解釋為何小行星愈靠近恆星時其所受的作用力愈大。

關於實驗

因小塑膠球運動的速度不易控制，故模擬小行星運動需多練習。

製作

v.1張宇靖、杜宗勳

指導老師

朱慶琪

撰稿

杜宗勳、朱慶琪

發佈於物理

探戈擺

目的

渦電流的另一種運用。

實驗

實驗裝置：
以彈簧懸吊強力磁鐵作為擺錘，將金屬板任意移動，觀察擺錘的運動情形。

原理思考

為何磁鐵會隨鋁盤擺動？

這也是渦電流的運用。利用金屬板與磁鐵進行相對運動，磁鐵將隨金屬板的運動產生亦步亦趨的現象，彷彿磁鐵正與金屬板來一場探戈的表演。

關於實驗

本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表：海報附件

參考資料

University Physics, (John Wiley & Sons, Inc.), revised ed., Chap. 31.

製作

v.1戴伯誠

指導老師

朱慶琪老師

撰稿

戴伯誠

發佈於物理

烏龍擺

目的

渦電流與單擺的演示。

實驗

實驗裝置：製作兩個狀似相同的單擺，底座由鋁板製成。當兩單擺開始運動時，觀察兩者運動狀態的差異。

原理思考

為何其中一個擺會很快就停止擺動？

雖然兩個擺看起來是一樣的，但其實內容物有所差異。很快停止的擺錘中，其實裝有強力磁鐵（如圖示）

fig12
並且底座是由鑲入一片鋁板，因此當兩單擺開始運動時，具磁鐵的單擺會使鋁板產生渦電流(eddy current)而減慢其運動，造成磁鐵單擺很快地停止擺動。而另一個無磁鐵的單擺則可持續擺動一段時間，使兩者運動狀態有此差異。

討論

渦電流是如何形成的？

關於實驗

1.本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表：海報

2.可與本站中之實驗E05.感應煞車、實驗E11.磁鐵太空漫步、實驗D64.探戈擺做比較。

參考資料

"University Physics, (John Wiley & Sons, Inc.), revised ed., Chap. 31.

製作

v.1戴伯誠

指導老師

朱慶琪老師

撰稿

戴伯誠

發佈於物理

單擺與錐擺

目的

探討單擺與錐擺的週期關係。

實驗

探討單擺與錐擺的週期關係。

原理思考

為何擺動路徑較長的錐擺，其週期亦較長？

單擺運動的週期與擺長、重力加速度有關（無關擺錘質量），其週期公式為 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

其中 $T$ 為單擺周期、 $L$ 為單擺擺長、 $g$ 為重力加速度。而錐擺的轉動周期會與角度(錐擺角度)有關，如公式如下： $T=2\pi \sqrt{\frac{Lcos\theta }{g}}$

其中 $T$ 為錐擺周期、 $L$ 為錐擺擺長、 $\theta$ 為錐擺與鉛直線的夾角， $g$ 為重力加速度。如圖示

由以上探討得知，錐擺的週期較短。

fig11

問題討論

造成本實驗尚有哪些因素？

1. 未考慮週期在非小角度下擺動的修正。

2. 因為空氣阻力導致的阻尼效應。

關於實驗

1.本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表。

2.論文壁報內容如附件

3.可同本網站中的實驗D43.依斯克里奇擺做比較。

參考資料

"University Physics (John Wiley and sons , inc. 1995) , revised , chap.6., Harris Benson

製作

高聖琦

指導老師

朱慶琪

撰稿

高聖琦

發佈於物理

伊斯克里奇擺

目的

演示重力加速度對單擺週期的影響。

實驗

實驗裝置：設計一個可以改變擺長角度的實驗，調整擺的不同角度後，分別觀察擺的週期是否產生改變。

原理思考

此為何現象？原理為何？

本次實驗使用的擺為複擺(physics pendulum)，故其週期為： $T=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{I}{mgd}}$

其中， $I$ 為複擺對通過質心轉軸的轉動慣量， $m$ 為複擺的質量， $d$ 為複擺質心到轉軸的距離。若擺面不在鉛直面，上一個方程式則修正為：

$T=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{I}{mgdsin\theta }}$

因此在本實驗中，複擺的週期與角度 $\theta$ 有關。

問題討論

影響本實驗上有哪些物理量？

實驗中的裝置要先知道複擺的轉動慣量才能用複擺週期求出理論值。因複擺上裝有培林必須修正轉動慣量，不過經計算後，發現培林的轉動慣量跟複擺相比，小到可以忽略。

關於實驗

1.本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表。

2.論文壁報內容

3.可同本網站中的單擺與複擺做比較。

參考資料

“An Old Apparatus for Physics Teaching: Escriche’s Pendulum,” Phys. Teach. 38, 424-425 (2000).

製作

李明駿

指導老師

朱慶琪老師

撰稿

李明駿

發佈於物理

耦合擺-單擺篇

目的

演示單擺運動中擺與擺間能量彼此傳遞的現象。

實驗

實驗裝置：以不同擺長的單擺，吊掛於連接繩上。

擺動其中一個，觀看其他不同擺長的單擺是否擺動。

擺動擺長與其中一個相同之單擺，觀看其他單擺的擺動情形。

原理思考

此一現象如何解釋？

此運動現象為單擺的共振而產生的耦合現象(coupled oscillations)，因擺長相同的單擺其週相同，並藉能量的傳遞而產生耦合的現象。

討論

改變連接繩張力有何影響？

連接繩張力愈大時，消耗在上面的能量就愈小，耦合效愈明顯。

關於實驗

本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表。

論文壁報內容如附件。

可同本網站中的念力擺做比較。

參考資料

“Classical Dynamics of Particles and Systems”, (Baker & Taylor Books, 1995)

製作

v.1 張天仁

v.2 戴伯誠

指導老師

朱慶琪老師

發佈於物理

單擺與扭擺

目的

演示單擺運動與扭擺運動間耦合的情形

實驗

實驗裝置：以兩片強力磁鐵當成單擺的擺錘，藉由單擺裝置，演示單擺與與扭擺之間的耦合情形。

原理探究

為何磁鐵作的擺錘會有時而停止、時而晃動的現象？

此運動現象為單擺的耦合現象(coupled oscillations)，簡單的說，因擺錘（強力磁鐵）與地磁的相互作用產生能量轉換所致。

fig16

討論

改變單擺的擺長對扭擺有何影響？

改變擺長可以改變單擺的運動週期，然而改變擺長並不會改變扭擺的週期。但是改變擺長會改變單擺與扭擺運動能量轉移周期間的關係。

關於實驗

本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表。
論文壁報內容如附件。
可同本網站中的單擺與複擺、耦合震盪擺做比較。

參考資料

“Coupled oscillations in suspended magnets,” Am J. Phys. 76(2), 125-128 (2008).

“Strong Little Magnets,” Phys. Teach. 45(9), 352-355 (2007).

University Physics, (John Wiley & Sons, Inc.), Chap. 29, 30.

“Wilberforce pendulum oscillations and normal modes,” Am. J. Phys. 59(1), 32-38 (1991).

製作

v.1黃朝暉

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃朝暉

發佈於物理

平行軸定理

目的

利用自行設計製作的教具，來演示平行軸定理並測量轉動慣量

實驗

實驗裝置：利用相同及不同形狀的物體，以質心為圓心挖出半徑 $R$ 的圓孔，再以圓周上任一點為支點置於實驗支架上轉動。

1.觀察兩個長方形的物體，分別以長、短邊為支點置於實驗支架轉動，其週期是否相同？
2.不規則形狀的物體，任取兩個點置於實驗支架轉動，其週期是否相同？

原理思考

對於同一個物體為何擺長改變但是其週期並未改變？

實驗中的物體為複擺(Physical Pendulum)，其週期為 $T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{I}{MgR}}$

其中 $I$ 為轉動慣量， $M$ 為複擺質量， $R$ 為轉軸到質心的距離。

運用平行軸定理可知，若繞通過質心的轉軸 $O$ 的轉動慣量為 $I_{c.m}$ ，而另一轉軸 $O'$ 平行 $O$ 且相距 $R$ ，則繞轉軸 $O'$ 的轉動慣量為:

$I=I_{c.m}+MR^{2}$

由原理的說明可知，若以質心為圓心挖出半徑 $R$ 的圓孔，再以圓周上任一點為支點轉動，其轉動慣量都是一樣的，因為轉動慣量一樣的緣故，其擺動週期亦會相同。因此若測量以圓周任一點為支點作小擺動的週期均相同。另外，也可以先測得週期後，再由上述理論求出複擺的轉動慣量。

討論

實驗支架的角度是否越小越好（減少摩擦力)？

實驗支架的角度理論上是越小越好，但是過小的角度時，複擺擺動時會有動現象；其角度視支架及複擺的材料而定。

關於實驗

本實驗於2009全國物理教學及示範研討會中發表。
論文壁報內容如附件。
可同本網站中的單擺與複擺做比較。

參考資料

Denardo, B. (1998). Demonstration of the parallel-axis theorem. The Physics Teacher, 36(1), 56-57.

製作

v.1李明駿

指導老師

朱慶琪

撰稿

李明駿

發佈於物理

酒瓶平衡

目的

觀察力的平衡與力矩的平衡。

實驗

取一端斜45度的木板支架，其中心開孔（位置因成品而異），使瓶子得以置入。
觀察其靜置時的情形。

原理思考

物體平衡除了合力為零外，合力矩也應該為零(why?)

從合力矩的出發點來思考此問題，如圖所示， $F_{1}$ 使系統逆時鐘轉動， $F_{2}$ 使系統順時鐘轉動，當合力矩為 $0$ 時， $F_{1}\times x_{1}= F_{2}\times x_{2}$

fig13

此問題亦可用系統質心來思考，若質心是落在木板支架底面積上方時（即 $A$ 點），則整體系統穩定不傾倒。

討論

1.若將木頭支架置換成金屬材質，則會造成何種影嚮？原因為何？

2.支架的傾斜角度有何影嚮？

1.會降低 $A$ 點的摩擦力，若摩擦力過小時，則 $A$ 點就不是系統的力矩支點。

2.當傾斜角度改變時，為達平衡，故須重新調整相關位置，使合力矩為 $0$ 。

實驗器材

酒瓶為一般紅酒瓶即可，木板可於五金建材量販店購買。

關於實驗

支架底面積大則實驗較易成功

參考資料

"Fundamental of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York. Ch11.

製作

v.1 李亞宸、杜宗勳

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

盪鞦韆_鞦韆為什麼可以越盪越高？

目的

藉由本實驗裝置，瞭解盪鞦韆能越盪越高之原理。

實驗

實驗裝置：準備一個一端繫有鐵球的單擺，將另一端穿過支架上端的固定圓環，使成一端能用手拉動之單擺。

1.先給予鐵球一個小擺幅。

2.接著用手週期性地拉動鐵球，應該如何拉才能讓鐵球越盪越高？

原理思考

欲使鐵球越盪越高，手拉動的方式是否有一規則可循？或是可隨意拉動？

欲使鐵球的擺幅變大，手拉動的規則是：當鐵球盪經過中央最低點時拉上，至兩端最高點時下放，盪回來又經過中央最低點時再拉上…..以此為週期持續拉動，就能增強擺幅（如圖所示），而單擺可持續擺動甚至越盪越高。

原因如圖，當鐵球經過最低點 $A$ 時，手拉動使鐵球重心上升了小距離 $d$ ，此時就對重力系統做了「正功」。在 $A$ 點時，速度最大，繩張力 $T_{A}\approx$ 重力 $mg$ $+$ 向心力 $\frac{mv^{2}}{l}$ ，因此我們對系統輸入的能量為 $T_{A}d$ 。

而當鐵球盪至 $B$ 點，手正好將繩子回放長度，鐵球重心下降，對重力系統做了「負功」，此時繩張力 $T_{B}$ 僅為重力的分量( $T_{B}=mg\times cos\theta$ )，系統減少的能量為 $T_{B}d$ 。

由以上可知，我們所做的正功比負功大，因此，週期性的做此動作，就會持續為系統輸入能量，產生所謂的共振，鞦韆也就會越盪越高了。

fig12

討論

1.能否應用本實驗原理，說明盪鞦韆如何越盪越高？

2.鞦韆盪至最低點時，人是否應站起使重心上升（對系統做正功）；盪至兩端點時，人是否應蹲下使重心下降（對系統作負功）?

3.若相反操作：到兩端提時高重心（增加位能），到中央時讓重心下降，則於端點增加的位能可否轉成動能? 可否盪更高?

4.在本實驗中，若持續操作讓鐵球越盪越高，可以盪到三百六十度或甚至超過嗎?

5.固定的拉動頻率，有可能讓單擺形成非週期的振盪嗎?

關於實驗

有一種兩小球中間以細繩相連的玩具，提起中央點讓兩球相碰而彈開。相撞時提起，將使其越彈越開。

參考資料

"Demonstration experiments in physics"

圖解生活物理世界

製作

V.1 戴嘉言，2009年5月

示範

戴嘉言

指導老師

陳泰利

撰稿

戴嘉言

發佈於物理

神奇的平衡

目的

用餐桌上隨手可得的餐具來演示「重心」、「力平衡」、「力矩平衡」、及「穩定平衡」原理。

實驗

實驗裝置：湯匙、叉子、牙籤、玻璃杯與打火機。

1.將湯匙與叉子相互交叉後用一跟牙籤插入並將牙籤放在玻璃杯上，前後調整牙籤位置使之平衡（如標題圖所示）。

2.將玻璃杯內伸出之牙籤燒掉是否會影響湯匙與叉子的平衡？

3.動一下湯匙與叉子，會發生什麼事？平衡狀態會被破壞嗎？

原理思考

1.系統能平衡的理由為何？

2.輕輕動一下會不會掉落，為什麼？

1.湯匙與叉子之所以會平衡，主要是槓桿原理（力矩）及重心的應用，仔細觀察您會注意到，其實整個系統的重心是落在牙籤與玻璃杯緣之接觸點（支點）下方，當調整牙籤位置到左右兩邊力矩相同時且整個系統的重心落在牙籤與玻璃杯緣接觸點（支點）下方，則湯匙與叉子永不掉落。

2.系統達成靜力平衡條件為系統之力與力矩都要平衡，因本系統之重心在支點之下，當傾斜時會提供一恢復力矩使其回復平衡，稱之為穩定平衡(stable equilibrium)如圖所示。 fig31

討論

1.為何火焰燒到杯邊就停止了？

2.燒掉的牙籤為何不會影響整個系統？

3.您可以舉例市售產品有哪些和我們的這項演示有相同的特點？

4.為什麼馬戲團走鋼索的表演人員要在手上持一根長竿維持平衡？

5.特技表演中之空中腳踏車又是為什麼不會掉下來？

1.當火焰燒到杯緣時大部分的的熱量都被玻璃吸收了所以火焰就熄滅了。
2.燒掉的牙籤對整體重量而言微不足道所以並不會影響整個系統的平衡。
3.市售產品如「喝水鳥」、「平衡玩具」、「鋼索騎輪車玩偶」等，他們都有有重心集中、降低、兩邊力矩平衡相等等特性。 fig11 fig21

關於實驗

1.湯匙與叉子兩者的重量相差太大時會不易找到平衡狀態。

2.使用打火機請注意安全。

參考資料

CENTER OF MASS - FORK AND SPOON ON TOOTHPICK(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

V.1朱慶琪

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪、朱浦毅

發佈於物理

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