科學活動

訂閱此 RSS

牛頓擺實驗

簡介

1.演示能量轉換及動量守恆。

2.彈性碰撞、非彈性碰撞的差異。

實驗

實驗裝置：

1.一般的牛頓擺，共有5顆鋼珠。
2.牛頓擺，其中一顆鋼珠換成質量不同的鋼珠。
3.牛頓擺，其中一顆改成材質不同的珠子(大小相近，但材質不同)。
觀察第一組牛頓擺珠子拉起放下後，位能動能的轉換以及動量守恆的情形。珠子可拉起一顆、兩顆、三顆或四顆後放下。接著觀察第2組及第3組牛頓擺，是否也有相同的狀況？若沒有，為什麼？

原理思考

1.什麼原因使第2, 3組牛頓擺擺動時間縮短？質量的影響為何？材質的影響為何？

2.彈性、或非彈性碰撞與觀察到的現象有何關係？你可以用學到的碰撞公式解釋觀察的結果嗎？

討論

1.假設，其中有一顆高度略低於其他四顆，這樣能量會守恆嗎？動量呢？為什麼？

2.如果5顆都換成滑鼠的滾珠（如第三組被置換的球一般），碰撞的情形是否與第一組一樣？為什麼？

製作

v.1 王鵬傑

指導老師

朱慶琪

撰稿

王鵬傑、朱慶琪

發佈於物理

衣架上的錢幣

目的

確認向心力(centripetal force)與慣性定律

實驗

實驗裝置：

衣架一個，把衣架拉彎成菱形，如右圖所示；試圖將錢幣靜置在 $X$ 處，手指放在 $Y$ 處當作支點。一開始輕微施力使其擺動，宛如一個單擺，隨後將振幅增大，直到衣架和錢幣以手指為圓心旋轉，觀察下列情況：

1.旋轉後，錢幣是否會掉下來？

2.當停止旋轉時，錢幣是否還停留在衣架上？

原理思考

1.衣架旋轉時，錢幣為何不會掉下來？

2.停止旋轉時，如何使錢幣停留在衣架上而不會甩出去？

1.錢幣靜止時，因衣架提供的正向力 $F$ 抵消錢幣本身的重力 $mg$ 並達到靜平衡，所以錢幣不會落下，如圖一。當衣架開始旋轉後，作用在硬幣的正向力提供向心力使錢幣作圓周運動的，如圖二。

fig 11

fig 21

2.錢幣以切線速度 $v$ 作圓周運動時，向心力只用來改變錢幣的運動方向，所以當停止旋轉時，錢幣將因慣性沿著切線方向運動，這時候若將衣架沿切線方向延伸，搭配足夠的（錢幣與衣架）靜摩擦力，就可以使錢幣停留在衣架上，而不會沿切線方向飛出去，如圖三。

fig 31

討論

1.硬幣是否會掉落跟衣架轉速有關嗎？

2.多疊幾個硬幣有何影響？

向心力 $F$ 與切線方向速度 $v$ 、物體的質量 $m$ 、旋轉半徑 $r$ 有關，關係式如下：

$F=\frac{mv^{2}}{r}=m\omega ^{2}r$

其中 $\omega$ 是角速度 $(\omega = \frac{v}{r})$

1.衣架轉速越慢時，因向心力變小，錢幣就容易掉落。

2.錢幣增加時（質量變大），整個系統轉動所需的向心力也變大，且硬幣間的摩擦力也需要納入考慮。

關於實驗

1.本實驗所如同水桶裝水後垂直轉圈，桶內水並不會灑出來是一樣道理。

2.本實驗器材隨手可得，只需多加練習即可。

3.架掛鉤上的橡皮頭，可用美工刀削平，可使錢幣在衣架上更為穩定不易掉落。

參考資料

"University Physics", Rev. ed., John Wiley & Sons, 1995, USA., p105-108.

PENNY AND COAT HANGER(Unerversity of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

The Penny and the Coat Hanger, TPT 15, 46, (1977).

製作

杜宗勳

指導老師

朱慶琪

撰稿

杜宗勳、黃時霖

發佈於物理

慣性定律 Law of Inertia

目的

體驗何為慣性定律(Inertia)

實驗

實驗裝置：

在壓克力環上放置一枝白板筆，再將壓克力環抽離，觀察白板筆是否會落入壓克力環下的圓筒內。

實驗影片

原理思考

為什麼抽離壓克力環的速度是要快而不是緩慢地抽離呢？

慣性定律，也就是牛頓第一運動定律(Newton’s first law)。牛頓第一運動定律：物體若不受外力，或其所受外力之合力及合力矩為零，則靜者恆靜，動者恆沿一直線作等（角）速度運動。此實驗中，快速將環抽離的目的為使白板筆受到較少橫向的力。

關於實驗

1.本實驗如同快速抽離餐桌上的桌巾後，桌上的餐具幾乎是停留在原地，是同道理。

2.可同本網站中的餐桌物理學—慣性定律比較。

製作

朱慶琪

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖
盧楷文

發佈於物理

雙珠競走(推廣版)

目的

修改｢雙珠競走｣實驗的設計及製作，以利推廣。

實驗

推廣版雙珠競走演示

原理思考

為何走下凹的軌道的球比較快到達的終點？

以 $v-t$ 圖來討論，兩球自相同高度落下時初速均為 $v_0$ 。走直線斜面的球 $v-t$ 圖如Fig.1所示。走下凹軌道（較接近擺線）的球 $v-t$ 圖如Fig.2所示。因擺線為重力下最快下降曲線[1]，且兩球的 $x$ 方向的位移相同（即 $v-t$ 圖斜線面積 $A$ ），故 $t_2< t_1$ 。（詳見Fig.3）（圖中 $v$ 是「速度水平分量」）

fig1 220x145 fig3 220x139 fig2 220x160

討論

1.若直線斜面改為45度時，哪一個球較快到達終點？為什麼？

2.加入摩擦力、球轉動的情形將會如何？

一個為｢斜面運動｣、一個為趨近｢重力下最快下降曲線｣。此時需考慮摩擦力所作負功造成的影嚮並需多考慮轉動動能

關於實驗

1.可同本網站中的實驗K01.雙珠競走及實驗K04.重力下最快下降曲線做比較

2.此雙珠競走的設計主要是用來普及教學推廣使用。

參考資料

「變分法上的最速降線之研究」, 李柏堅

製作

v.1 黃時霖，2008年8月

fig4 220x146

v.2 黃時霖，2008年10月

fig5 220x146

v.3 黃時霖，2008年11月

fig6 220x146

材料

1.木板等木料可於建材行購得。

2.軌道用電線之塑膠壓條製作，於一般水電材料行均可購得。

3.鋼珠於承軸材料店購買。

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

斜面運動

目的

演示由不同角度（但相同水平距離）斜面滾下的球，誰會先到？跟角度有什麼關係？

實驗

三個斜面，角度各為 $30^{\circ}$ 、 $45^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$ 。滑軌由集線條所構成，以電磁鐵開關控制鐵球同時下滑。

實驗演示

原理思考

1.為什麼路徑長且較陡的60斜面會和路徑短且較平緩的30ﾟ斜面同一時間下滑到地面？

2.為什麼45°斜面會最快下滑到地面呢？

由能量守恆，即位能變化等於動能變化：

$Mgdtan\theta=\frac{1}{2}Mv^{2}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}MR^{2}\times \left ( \frac{v}{R} \right )^{2} \Rightarrow v^{2}=\frac{10}{7}gdtan\theta$

其中 $M$ 為鐵球質量； $g$ 為重力加速度； $d$ 為水平位移距離； $v$ 為鐵球滾到底部時的末速； $R$ 為鐵球半徑； $\theta$ 為斜面角度。

加速度a： $v^{2}=2a\times \frac{d}{cos\theta }\Rightarrow a=\frac{5}{7}gsin\theta$

下落時間 t： $t=\sqrt{\frac{2S}{a}}=\sqrt{\frac{7\times2\times\frac{d}{cos\theta }}{5gsin\theta }}=\sqrt{\frac{28d}{5gsin2\theta }}$

由此得知當角度 $\theta =45^{\circ}$ 時，鐵球從頂部到底部所花的時間較少；當角度 $\theta$ 分別為 30° 或 $60^{\circ}$ 時，這兩種情況所需的時間相同。

fig21

討論

1.在這個運動過程中是否要考慮摩擦力呢？摩擦力的作用又是什麼？

2.滾動、滑動、摩擦力對本實驗有什麼影響？又以哪種現象在此實驗中較重要？

3.為什麼相同的水平距離下，只要斜面是互餘的角度，鐵球下滑時間就會相等？

關於實驗

1.為使發射時間點相同，本實驗以電磁鐵吸住及釋放鐵球做為同步發射開關。

2.製作時，水平距離若太短會因為球滾下的時間太短，而導致觀察不易。

3.本實驗專題報告內容如最下面附件。

參考資料

“Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York.

“Sphere rolling down a grooved track “, Am. J. phys., 53, 765(1985)

製作

V.1 黃瀧毅

指導老師

陳泰利、朱慶琪

撰稿

黃瀧毅、朱慶琪

發佈於物理

平拋與自由落體

目的

驗證運動學中向量的獨立性

實驗

用設計一個簡單的機械結構，來同時發射兩塊正方體，使它們產生平拋和自由落體運動，觀察它們落地的時間。

原理思考

為什麼兩物會同時落地? 為什麼路徑較長反而和路徑短的同時落地?

物體落下的時間跟加速度有關，水平拋出跟自由落體，在垂直方向只受到重力作用，因此加速度皆是重力加速度。加速度相同，每秒落下的距離就相同。兩物從同樣的高度落下，所以會在相同的時間落地。垂直方向的運動與水平方向的運動可以分開考慮，這也是向量獨立性的意思。

fig2 140x361

討論

1.若改為兩大小不同的物體，則結果會如何?

2.若改變平拋的初速度，則結果為何?

3.若物體從台北101上同時拋出/落下呢?

關於實驗

支撐彈射桿的鋁板必須夠厚，否則容易變形。

參考資料

BALLS DROPPED AND SHOT(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

王厚升

指導老師

朱慶琪

撰稿

王厚升、朱慶琪

發佈於物理

重力下的最快下降曲線

目的

體驗重力下的最快下降曲線(brachistochrone)

實驗

實驗裝置：

製作相同起終點的直線、擺線與其他曲線路徑的鋼珠軌道。

觀察兩球由靜止釋放，經下列路徑的時間比較：(軌道右下方紅點為終點)

1.擺線與直線。

2.擺線與比擺線陡的曲線。

3.由擺線中不同點下降。

原理思考

1.擺線與直線比較，球似乎走路徑較長且較陡的擺線較快；然而擺線與比擺線更長更陡的曲線比較，球卻也是走擺線較快，為什麼？

2.球由擺線中不同點為起點靜止釋放，為什麼卻會花同樣時間抵達終點？

fig1 (1).jpeg

$t= \int_{0}^{x}\frac{\sqrt{1+\left (y^{'} \right )^{2}}}{\sqrt{2gy}}dx$

$dt= \frac{ds}{v},ds= \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}= \sqrt{1+\left ( y^{'}\right )^{2}}dx,y^{'}=v=\sqrt{2gy}$

所花時間由變分法之Euler equation可求得滿足最小時間

$x= a\left ( \theta -sin\theta \right ),y=a\left ( 1-cos\theta \right )$

，及擺線方程式。

又

$ds= \sqrt{dx^{2}+dy^{2}}= a\sqrt{\left ( 1-cos\theta \right )^{2}+sin^{2}\theta }d\theta= a\sqrt{2-2cos\theta }d\theta$

$,y= a\left ( cos\theta _{0}-cos\theta \right )$

所花時間

$t= \int_{\theta _{0}}\frac{a\sqrt{2-2cos\theta }}{\sqrt{2ga\left ( cos\theta _{0}-cos\theta \right )}}d\theta= \cdots = \pi \sqrt{\frac{a}{g}}$

，即下降時間與起始角 $\theta _{0}$ 無關

討論

1.實驗中球的滾動、滑動、摩擦力對實驗結果有何影響？

2.假設通過擺線上的一點的垂直線與擺線的夾角為α，試算 $sin\alpha$ 與通過該點切線速度 $v$ 的比值。此關係與光在介質中折射角與速度的關係有何關聯？為什麼？

關於實驗

1.為使發射時間點相同，本實驗以電磁鐵吸住及釋放鐵球做為同步發射開關。

2.伽利略(Galilei)曾在1638年給出一個該曲線為圓弧的誤證。後來白努利家族(Bernoulli)對此問題的探討成為變分學的濫觴。

3.擺的等時性(tautochrone)於1673年由惠更斯(Huygens)所提出。

參考資料

“變分法上的最速降線之研究"

“Analysis by its history"

製作

v.2 曾助理、張正忠、張惟絮

指導老師

陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

拋體運動Projectile motion

目的

表現慣性定律、加速度作用與向量獨立性。

實驗

實驗裝置 : 一部在軌道上作等速直線運動的滑車，經過定點時可向上發射沙包。

1.將沙包放置於滑車發射架上，讓滑車作等速直線運動，觀察沙包經過發射點後的軌跡，滑車能再接到沙包嗎?

2.滑車末端繫上細繩，繩子經過軌道末端的滑輪垂直向下繫上一砝碼，重做實驗，滑車能再接到沙包嗎？

3.將繫繩與砝碼卸下，把軌道起點抬高，重做上述實驗，滑車能再接到沙包嗎?

4.第二版教具演示

原理思考

1.能再接到沙包的條件為何?

2.重力在砝碼上加速滑車與在斜面上加速滑車結果相同嗎?

1.由向量獨立性，如果在水平方向沒有加速度，相同初速下，車與沙包在水平方向位置相同。

2.砝碼重量經由滑輪提供車子水平方向加速度，沙包無水平加速度，故落於後方。

3.由於沿著斜面作用在車子的加速度是由重力的分量所提供，沙包亦受相同的重力分量加速，在沿斜面初速相同下，沿斜面位置將會相同。

討論

1.車子受到斜面正向力，而沙包沒有，還可以接得到？

2.若考慮上坡的情形，與下坡相同嗎？

3.加入車輪摩擦力，三種結果如何？

關於實驗

市面上有一種自動彈球的棒球玩具，可做本實驗的發射器。

參考資料

FUNNEL CART(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

FUNNEL CART WITH MASS OVER PULLEY(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

FUNNEL CART ON INCLINE(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

v.1 周瑞星
v.2 杜宗勳

指導老師

易台生、陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

投射撞擊 Projectile motion

目的

表現重力加速度的作用、向量獨立性、加速座標系統。

實驗

實驗裝置：設計讓一個球做自由落體時，同時發射對準自由落體的另一球。
1.調整發射方向於兩球的連線上。
2.將球發射，觀察兩球碰撞點。

3.用不同力量發射，重新觀察。

4.將整個發射系統設定於自由落體模式。

5.重新實驗，觀察撞擊點。

6.不同的實驗裝置演示。

原理思考

相撞的條件是什麼？

假設發射的球水平走 $L$ 的距離需時 $t$ ， $t= \frac{L}{v_{0}cos\theta }$ 。

發射的球垂直方向所走距離： $y_{1}=\left ( v_{0}sin\theta \right )t-\frac{1}{2}gt^{2}= \left ( v_{0}sin\theta \right )\left ( \frac{L}{v_{0}cos\theta } \right )-\frac{1}{2}gt^{2}= H-\frac{1}{2}gt^{2}$

掉落的球垂直方向所走距離： $y_{2}= H-\frac{1}{2}gt^{2}= y_{1}Y$

意即垂直方向所走距離相同。

exp01 220x178

討論

1.不同重力加速度對實驗結果有何的影響？

2.將整個實驗系統順時針轉 $\theta$ ，比較兩球垂直下落距離。

3.重力場是否相當於加速座標系統？

關於實驗

因為發射的同時要讓另一顆球開始落下，常見實驗製作的方式是用電磁感應線圈做為開關。但考慮讓整個系統做自由落體，以機械連動方式設計較為堅固。

參考資料

“University Physics with Modern Physics “, 11th ed., Addison Wesley, 2004, U.S.A., p.94

ENERGY AND MOMENTUM _COLLISION AND PROJECTILE,University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility

製作

v.1 周瑞星

v.2 曾助理

指導老師

陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

雙珠競走

目的

表現速度與加速度的關係、向量分解

實驗

實驗裝置：

1. 將兩球放置釋放器上使釋放條件相同。這會使得兩球的初期運動速率相同。

2. 將球釋放，觀察哪一球先到終點。

原理思考

比較快的球何時開始加速？提供加速的條件是什麼？

因為只考慮水平方向運動，直接加諸球上的重力加速度為垂直方向可不考慮。在斜面上的球另外受到垂直於軌道的正向力，此正向力的水平分量提供球水平方向的加速度，下坡時於水平方向做加速運動。

雙珠競走自由體圖

上坡時雖為減速運動，但速度仍大於原水平速度，故兩球以同樣水平距離考慮時，有下降的球所需時間較短。如果以 $v-t$ 圖(速度 $v$ 與時間 $t$ 的關係圖)來討論，以許更容易了解。走水平直線的軌道時，球的速度都一樣，假設初速為 $v_0$ ，其 $v-t$ 圖如Fig.1所示。走下凹的軌道時，假設初速也是 $v_0$ ，其 $v-t$ 圖如Fig.2所示。

fig2 fig3

(圖中 $v$ 是「速度水平分量」)

在 $\Delta t_1$ 期間軌道的正向力提供了水平的加速度，使的球由斜面滑下時，水平的速度增加了，變成 $v(v> v_0)$ ，接著在 $\Delta t_3$ 期間以 $v$ 的速度行進，雖然在 $\Delta t_2(\Delta t_2=\Delta t_1)$ 期間減速回原本的初速 $v_0$ ，但已經超越了在水平軌道運動的球了。