科學活動

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小球漂浮

目的

了解小球飄浮原理。

實驗

實驗裝置：送風機+小球
啟動送氣機，且將小球置於其出風口，並察該小球運動情況。
1.當出風口垂直向上時，此時小球運動情況為何？
2.當出風口傾斜時，此時小球運動情況為何？

原理思考

為什麼小球不會掉落呢？

大家會以為這是白努利定律，其實不是。真過的原理是康達效應(Coandă effect)。
先考慮理想的情況，小球為表面光滑且質量均勻的球體，氣流
為理想流體(ideal fluid)[1]，則在小球周圍會形成穩定的流場(flow
field)，因此，小球就會被限制在氣流中央。（右圖一）
再考慮因黏滯力(viscous drag force)所造成的阻力，因空氣阻力的關係，使小球同氣流方向運動。
當向上吹時，小球受空氣阻力向上，受重力向下，故可飄浮在半空中。
當傾斜小角度時，此時氣流在小球周圍所形成的流場，就像一斜坡道，小球受重力和阻力的關係，亦可飄浮在空中。
當角度過大時，此時周圍流場施與小球的力小於小球重力在流場的方向上，故小球會掉落。
由於小球的表面為一不均勻粗糙面，質量亦不一定均勻，故球面上每一點所受到的空氣阻力(由黏滯力所造成的)不一定相同，故會形成力矩(torque)，使小球旋轉。

討論

1.小球的材質和本實驗有何關係？
2.周圍流場的流速和本實驗有何關係？

關於實驗

1.本實驗為容易演示的項目，亦為流體力學的經典例題。
2.送風機可用吸塵器出風口代替。
3.NASA: Incorrect Theory

參考資料

“流體力學", 初版, 三民, 2004, 臺北, 陳俊勳杜鳳棋

製作

v.1 曾助理

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

水往上爬

目的

毛細現象(Capillarity)觀察

實驗

實驗裝置：將兩壓克力板夾一很小的角度 $\theta$ 接合，並注入水觀察表面張力(Surface Tension)和兩板間距的關係。

1.實驗全景圖：

fig41 700x466

2.區域放大圖：

fig41 700x466 1

原理思考

為什麼水表面不是平的呢？
因作用於鉛直面上的表面張力大小不同，所拉起水的高度也不同，但液面所形成的弧線是否為常見的二次曲線？是拋物線(Parabola)？是雙曲線(Hyperbola)？還是其它高次方曲線？

在討論這現象前，先考慮簡單的表面張力實驗：兩片相距 $d$ 鉛直插入水中的平行壓克力板(如上圖)，

接近壓克力板的水面會因毛細現象而上升高度為 $h$ ，設平行板長 $L$ ，水的表面張力為 $T$ ，水和板面的角度 $\alpha$ ，水密度(Density)為 $\rho$

因為毛細現象使水面上升，故被拉起的水重會等於鉛直方向的表面張力
因此 $\rho \cdot h\cdot d\cdot L\cdot g=2\cdot T\cdot L\cdot cos\alpha...(1)$

可得水上升的高度 $h=\frac{2Tcos\alpha}{\rho gd}...(2)$

回到這個有趣的現象來！
下圖中 $Z$ 軸為兩壓克力板的夾邊。

兩壓克力板上 $A,B$ 兩點距 $Z$ 軸均為 $y$ ，其中 $A,B$ 間距為 $w$ 。因 $\theta$ 甚小，故 $w$ 近似為 $y\theta$ ，把上述問題應用到此處， $(2)$ 式中的 $d$ 取為平均厚度 $\frac{w}{2}=\frac{y\theta}{2}$ ，高度 $h$ 則為 $z$ ，於是 $z=\frac{4Tcos\alpha}{\rho gy\theta}...(3)$

$(3)$ 式可改寫為 $yz=\frac{4Tcos\alpha}{\rho g\theta}...(4)$

因此，得到 $yz$ 等於常數，故液面為雙曲線

討論

1.若水換成水銀(Mercury, 汞)，此時的液面是否仍為雙曲線？

2.若此實驗在加速座標(Accelerated frame)下（例：自由下落），水面仍還是雙曲線嗎？

3.若在水中加入清潔劑（界面活性劑Surface-active Agent），結果會變如何？

4.若將壓克力板置換為一乾淨玻璃，會有何種結果？

關於實驗

1.角度不宜過大，否則不易觀察此現象。

2.使用染劑效果更佳。

參考資料

“PHYSICS普通物理", 第二版, 東華, 民95, 台北

製作

v.1 黃時霖

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

加速下液面變化

目的

探討在加速座標下液面變化情形

實驗

實驗裝置：在一台車上設置一壓克力盒且盒內裝水。
使台車在一水平面上定加速，並觀察加速前後液面的變化情形。
將台車靜置在一固定的斜面上，再使其自由下滑，並觀察下滑前後液面的變化情形。
如實驗二進行，此時斜面可自由移動，並觀察下滑前後液面的變化情形。

原理思考

先考慮一 $U$ 形管的問題，在受一外力加速 $A$

情況下，討論水位的變化（如下圖）。

fig1 220x171

水位差所造成下部水管內的液體所受的力： $2\times \Delta h\times g\times a\times \rho = L\times A\times a\times \rho$

$a$ ：管面積； $\rho$ ：液體密度； $g$ ：重力加速度。

本實驗所使用的儀器，可視為很多個連通管的疊合。故在一加速度的情形下，會造成水面傾斜。

討論

1.水面的傾斜角和外加速度有何關係？
2.大氣壓力及慣性定律在這邊扮演什麼角色？
3.在這四個實驗中，力圖該怎麼分析？

關於實驗

壓克力盒中的水不宜過多，以免實驗操作時，造成檯面溼滑。

參考資料

「生活中的實用物理」, 初版, 龍騰文化, 民91, 臺北

“Some dynamic applications of liquid manometer", Am. J. Phys. 3(2), 1935

ACCELEROMETER ON INCLINED PLANE(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

AIR TRACK – ACCELEROMETER(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

黃時霖

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

失重下的Torricelli實驗

目的

慣性座標系(inertial frame)與非慣性座標系(non-inertial frame)的關係

實驗

實驗裝置：將保特瓶瓶蓋及瓶子下部側面開孔，注入約八分滿的水
用手舉高靜置，觀察水流方向，然後放手使其自由下落，亦同時觀察水流方向。

原理思考

起始情況：手拿高靜置時，水會從小孔流出。
後來清況：放手後，水不會從小孔流出。

1.此時瓶子處於慣性座標系，瓶中運動的水則是處於加速座標系。亦可這樣想，水面和小孔面的距離不大故可假設其所受的大氣壓力均相同，故和大氣壓力無關，但在小孔面上的水受重力的影嚮，給小孔面一水壓，此時的小孔面是沒辦法像其它的瓶壁給予水一正向力使水留在瓶中，故水會從小孔中流出。
2.此時兩者均處於相同的加速座標系中。亦可這樣想，此時瓶中的水處於失重狀態，故小孔面上的水無法給小孔面一水壓（可想像為在失重的情況下，秤是無法量出物重），故水無法流出。

討論

1.若改為鉛直上拋，此時的水流情況為何？
2.若瓶蓋未開孔進行上述實驗，水流的情況會是如何？
3.瓶子下落時，所產生的氣流對此實驗有何影嚮？

1.N/A
2.因為大氣壓力的關係，使水不會流出，但在剛裝好水的時候，仍會有些許的水流出，是為了使瓶中空氣及水對洞所產生的壓力，剛好等於外在的大氣壓力。
3.N/A

關於實驗

1.開孔直徑約4mm即可
2.演示時注意會造成地板溼滑

參考資料

“Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York. Ch5.

製作

v.1 黃時霖

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

柏努利定律嗎?

目的

激發對柏努利定律(Bernoulli’s principle)的討論，並澄清ㄧ般人對其運用上的錯誤觀念。

實驗

1.透明儲水管上立有四支直立的透明水管，每個水管頂端裝有不同形狀的面板，分別為凹面板、凸面板、平面板、半圓面板。吹風設備用市售吸塵器將濾網拆除，以得到較大的風速。
2.將氣體由右向左橫吹過管口上的各種形狀面板，觀察管內水位的變化，實驗前請先預測成果，並嘗試用柏努利定律解釋。

原理思考

為什麼用柏努利定律無法完全解釋？是否有其它的效應影響？

大家一開始一定會用柏努利定律解釋，其方程式為：
$p_{1}+\rho gh_{1}+\frac{1}{2}\rho v^{2}_{1}=p_{2}+\rho gh_{2}+\frac{1}{2}\rho v^{2}_{2}$
從上面的演示實驗知道 $h_{1}=h_{2}$ 。

此時柏努利定律告訴我們，當流體流速快時其壓力變小。
若是以柏努利定律來解釋時，可預測四個水管的水位都應該會上升，因為面板上的氣體流速快，所以壓力變小之故。但結果並非如此，氣體流經不同的面板時，水管內的水位有變高也有變低，其實主要的原因是康達效應(Coanda effect)的影響。
何謂康達效應？簡單說就是當流體流經物體時，會沿著其表面流動的現象。在本實驗中，我們設計了四個不同形狀的面板讓氣流流經其表面來驗證康達效應。
以氣體流經凸面板為例說明。因康達效應之故，所以氣體沿凸面板表面作圓周運動，也就是此時凸面板上流動的氣體必存在一個向心力，使原本直線流動的氣體改變原運動方向而做圓周運動，同時再根據牛頓第三運動定律，氣體對凸面板及水管內的空氣施以一個反作用力，這也就是水管內的水位會上升的原因；半圓面板可更清楚說明此現象，參考下圖。

coanda effect

反之，凹面板亦如是。平面板上的氣流因為做直線運動，所以水管內的水位高度沒有變化。
在此實驗中柏努利定律不適用的原因，乃是因為該定律需在下列基本假設下方適用：

1.必須為不可壓縮流體。
2.流體流動時需為穩流狀態。
3.需為非粘滯流體。
所以，不是所有的流體流動現象都可以用柏努利定律來解釋。你預測對了嗎？

討論

1.若將水管上的平面板拿掉，管子上面沒有任何物體，此時氣體流經管自上方時，水位會不會有變化？為什麼？
2.棒球投手投的變化球可否也是康達效應的運用？

1.此時可將這個管子看成是文氏管(venturi meter)，氣體是直接流經水管口，可用柏努利定律解釋。
2.棒球球手投出的變化球主要是Magnus force的影響。

關於實驗

可比較本網站中的文氏管及實驗F06.小球飄浮做比較

參考資料

“Fundamentals of Physics Extended “,Fifth Edition., John Wesley & Sons, INC 1997, U.S.A., p358-363.

BERNOULLI’S PRINCIPLE? (University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

製作

杜宗勳

指導老師

朱慶琪

撰稿

杜宗勳

發佈於物理

文氏管

實驗

實驗裝置：文氏管是用來測量流體流速的裝置。器材上方由三個管徑不同的玻璃管連接而成。下方玻璃管裝有液體以測量流體的速度。上方通過玻璃管的氣流流速大小決定了下方玻璃管內液體的高度。
觀察氣流流經不同管徑的玻璃管時，水柱的高低變化。

原理思考

為何下方水柱會有高低的變化？水位的高低變化與白努利定律預測的結果一致嗎？如何將此裝置改為可以定量測量流速的儀器？

討論

若將水改成其他密度不同之液體，液體高度變化的情形會改變嗎？差異會更大還是變小？
若將儀器倒過來，改為水在流動，請問水位的高地變化應為？

關於實驗

參考資料

製作

v.1 王鵬傑

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪

發佈於物理

向左走?向右走?

目的

從施力方向與輪子轉動方向的衝突中，了解輪子上力的作用。

實驗

實驗裝置：共有兩台車，車子內側與外側有互相牽動的同心輪子，一台車內輪小外輪大，另一台車內輪大外輪小。在內輪上方放置一個大輪。
本實驗假設摩擦力足夠，不會滑動。

實驗一：使用內輪小外輪大的車，用尺對大輪施一方向的力，觀察最後的移動方向、與尺的距離關係。
實驗二：使用內輪大外輪小的車，用尺對大輪施一方向的力，觀察最後的移動方向、與尺的距離關係。（因內輪較大，需要放在另一個專門給小外輪跑的軌道。）

原理思考

1.內輪與外輪分別受了哪些力？如何決定最後車子會走的方向？
2.為何內輪小外輪大的車子可以走得比尺還快？

內輪與外輪分別受了哪些力？如何決定最後車子會走的方向？
對內輪小外輪大的車子：

用尺在大輪上方施一個向右的力 $F$ ，此時接觸地面的外輪會產生反方向的摩擦力 $f$ ，並且摩擦力大小 $f=F$ 。

此時注意互相牽動的兩輪。內輪（小）所受的力為上方大輪所傳下來的 $F$ ，因此力矩為 $F_{r}$ （逆時針），而外輪（大）所受的力矩為 $f_{R}$ （順時針）。

$f_{R}>F_{r}$ ，因此輪子會順時針旋轉，車子便向右移動了。

對內輪大外輪小的車子：

用尺在大輪上方施一個向右的力F，此時接觸地面的大輪會產生反方向的摩擦力 $f$ ，並且摩擦力大小 $f=F$ 。

此時注意互相牽動的兩輪。內輪（大）所受的力為上方大輪所傳下來的 $F$ ，因此力矩為 $F_{R}$ （逆時針），而外輪（小）所受的力矩為 $f_{r}$ （順時針）。

$F_{R}>f_{r}$ ，因此輪子會順時針旋轉，車子便向左移動了。
2.為何內輪小外輪大的車子可以走得比尺還快？

先假設車子向右走了 $D$ 的距離，代表外輪（大）順時針轉了 $D$ ，內輪（小）順時針轉了 $\frac{D_{r}}{R}$ ，大輪逆時針轉了 $\frac{D_{r}}{R}$ ，因此尺移動的距離為 $D-\frac{D_{r}}{R}$ ，比車子走的路還短。

討論

如果輪子與地面沒有摩擦力的話，車子會怎麼走動？

參考資料

Under the ruler faster than the ruler

製作

施堡仁

指導老師

朱慶琪

撰稿

施堡仁

發佈於物理

傅科擺

目的

在不同的座標系演示單擺運動現象。

實驗

實驗裝置：將單擺置於一個轉動圓盤上，擺線頂點接在轉動軸上；再將一無線攝影機安固于單擺頂部，藉以擷取轉盤系統上單擺的運動影像。

實驗過程：
1.整個系統先處於靜止狀態，再使擺錘在約30度的擺角下開始擺動，分別在地面及透過轉動系統的無線攝影機觀察單擺是否作直線往返的週期擺動。
2.單擺如前面的情況下正常擺動，接著轉盤以等速、低速轉動，再次觀察地面及轉動系統中的單擺是否仍作直線往返的週期擺動。

原理思考

爲什麽同一單擺的運動卻呈現不同的運動形式呢？

物理運動學中，描述一個運動前首先要確定參考系，故對於同一運動的描述，選取不同的參考系，就會有不同的形式。
牛頓第一運動定律（Newton’s first law of motion）說明，除非有外力施加，否則運動中的物體其速度或方向不會改變；此時物體維持運動狀態不變的這性質稱為慣性。
接著分析本實驗的運動描述形式。
一般我們觀察單擺是在地面上觀察，即選取地球作為參考座標，也就是慣性座標；以直角座標表示，此時擺錘擺動的平面就在y-z平面上。然而，在轉動的原盤上觀察時就不是前述的慣性座標系，而是轉動座標系，無線攝影機安固于轉動盤系統上，就是以轉動座標系的視角來觀察單擺的運動，這也就是此時你觀察到擺鎚以圓弧狀運動，而非直線運動。

問題討論

1.生活中有沒有相關的實例？ 2.有沒有更簡單的方法來演示這個現象？

1.因一般狀況下，感覺不出科氏力的存在因為尺度太小，所以我們感受不到，但是長距離的運動物體，如南北向長距離飛行的飛機、洲際彈道飛彈等都必須將科氏力考慮進去。
2.可以準備一張紙放在一個轉盤上，右手拿一支筆在紙上畫一直線，同時左手轉動轉盤；整個過程中，右手是直線運動，可是紙張上畫出來的卻是一條弧線，這就是在不同的座標系下，物體運動會有不同的型式。

關於實驗

支架製作確保單擺頂接線點在轉動系統軸上。
可同本網站中科氏力比較。

參考資料

人民教育出版社課程教材研究所物理課程教材研究開發中心，普通高中課程標準實驗教科書物理 1 （必修），頁10~13

高等教育出版社理論力學教程（第二版），頁253~259

佛科擺百度

牛頓第一運動定律

長庚大學格物致知物理學習網站

製作

v.1 吳開貴(西南大學交換學生)

指導老師

易台生、朱慶琪

撰稿

吳開貴

發佈於物理

質量分布對轉動慣量的影響

目的

演示總質量固定下、物體的質量分布對轉動慣量的影響。

實驗

實驗裝置：

設計一個轉輪，有四個可調整對圓心距離的銅塊。

1.用一重物帶動轉輪轉動（重物即為驅動力），觀察轉輪的轉速變化。

2.改變轉輪四個銅塊的位置，再次觀察轉輪的轉速變化。

原理思考

為甚麼將銅塊向外移後轉輪的轉速變化變慢了？也就是在驅動力、轉輪質量均不變的情下，什麼改變了？

轉動慣量 $I$ 的大小與質量 $m$ 和轉軸之間距離 $r$ 有關， $I= mr^{2}$ (將物質是為質點)。在此實驗中，銅塊的轉動慣量為 $Ic$ ，轉輪(不包括銅塊)的轉動慣量為 $Ih$ ，總轉動慣量為 $Ic+Ih$ ，當銅塊向外移動時 $Ic$ 增加（因 $r$ 增大了！），所以也增加了總轉動慣量。實驗中轉輪所受的力矩為定值（因為驅動力為定值），根據力矩 $\top = Ia$ ，轉動慣量越大，角加速度 $a$ 越小，所以轉輪的轉速就會變慢。

討論

生活中有什麼實例？

1.溜冰選手在轉圈圈時，當雙手向外伸展時，旋轉速度較慢；當雙手像身體收縮時，旋轉速度變快。同樣的，跳水選手在跳水時的轉圈動作也是如此。

2.當大地震發生時，因地震造成地球內部質量重新分佈，也造成自轉速度的改變。例如2011年3月的日本強震讓地球自轉一天所需的時間減少了1.6微秒。

關於實驗

本實驗於2011全國物理教學及示範研討會中發表。

可同本網站中誰比較快？——斜面滾動篇比較。

參考資料

University Physics, John Wiley & Sons, Inc, 1995, pp. 211-218, pp.242-244.

地震會影響地球自轉速度？科學人中文版。9月號。遠流出版事業有限公司。(網路版：http://sa.ylib.com/saeasylearn/saeasylearnshow.asp?FDocNo=1834&CL=72)

製作

林世閔

指導老師

朱慶琪

撰稿

林世閔

發佈於物理

讓我們一起搖擺! 擺的同步現象

目的

演示多個系統的簡諧震盪(simple harmonic oscillation, S.H.O.)與同步性(Synchronization)間的關係。

實驗

實驗裝置：準備三個鐘擺節拍器、一塊經材質的木板、兩個空的汽水鋁罐，三個節拍器調整到相同的頻率。將節拍器放到木板上，隨機推啟節拍器，觀察並聽三個節拍器是否同步？經過一段時間後，把整個系統移到汽水罐上，也就是把汽水罐當軸承，再觀察三個節拍器是否同步？

原理思考

原本相同頻率但不是同步的節拍器為何放到汽水罐上面，經過一段時間後，就變成同步？

為簡化說明，先以兩個節拍器來解釋。當汽水罐上其中一個節拍器的擺鎚向右移動時，因為動量守恆之故，便將木板推向左，當木板被推向左時又將另一個節拍器的鐘擺推向右，也就是和第一個節拍器的擺鎚擺動方向相同。因此，宛如向右運動的擺鎚透過底座將另一個擺鎚向右推了一下。透過這樣不斷的重複動作，擺鎚間的能量透過木板傳遞，直到兩個擺鎚擺動為同相位。影片中用三個節拍器演示，其原理亦是如此，可以從三個節拍器的擺鎚同相位一起搖擺後的現象看出。

討論

1.若用厚重的金屬代替木板底座，結果會有何不同？

2.使用單、偶數個節拍器，會有甚麼不同？

若底座質量太大時，擺鎚擺動的能量已不足以推動底座，更無法傳遞到另一個擺鎚，這好像是將演示影片一開始時，木板放在一張大桌子一樣，擺鎚是以各自的相位擺動。
使用偶數個節拍器，會出現以”反相”的狀態震盪較長時間的現象，但要視擺鎚擺動時的初始條件而定。

關於實驗

1.演示實確保桌面須保持水平並保持乾淨，勿有水、灰塵或沙粒。

2.汽水罐盡量保持平滑，不要有凹痕。

3.本演示節拍器調整至最短的週期(每分鐘208次)，以縮短時間。

4.可同本網站的念力擺、單擺與扭擺、耦合擺——單擺篇、誰最搖擺比較。

參考資料

Synchronization of Metronomes, American Journal of Physics 70 (10) 992-1000 October (2002).

Synchronization of Metronomes

製作

朱慶琪

指導老師

朱慶琪

撰稿

杜宗勳

發佈於物理

錐擺——不同擺長的旋轉特性

目的

演示轉動中的錐擺其擺長、質量、角速度等因素與擺錘垂直高度的關係。

實驗

實驗裝置：以三個相同質量的銅柱為擺錘，但長度不同的錐擺（conical pendulum），頂端連接在鐵環上。讓三個錐動擺以相同的角速度（也就是三個錐擺具有相同週期）繞轉軸作圓周運動，三個擺錘在旋轉時的垂直高度間會有什麼關係？

原理思考

決定擺錘的高低有那些因素？

錐擺運動時的受力圖如下：

force analysis of conical pendulum

其中
$\theta$ = 擺長與垂直線夾角

$m$ = 擺錘質量
$g$ = 重力加速度
$a$ = 向心加速度

$\omega$ = 旋轉角速度

$r$ = 旋轉半徑

$L$ = 擺長長度

$H$ = 運動時擺錘的垂直高度

分析上圖可知

$Tcos\theta =mg...(1)$

$Tsin\theta =ma...(2)$

其中向心加速度 $a=r\omega ^{2}$

另旋轉半徑 $r=Lsin\theta$

故 $Tsin\theta=ma=mLsin\theta \omega ^{2}$

推得繩張力 $T=mL\omega^{2}$

帶入(1)式可得 $Tcos\theta =mL\omega^{2}cos\theta =mg$

故得知錐擺擺錘的垂直高度

$H=Lcos\theta =\frac{g}{\omega ^{2}}$

從以上分析得知，擺錘的高度只和角速度及重力有關，與錐擺的擺長無關。

討論

1.擺錘重量的不同是否會改變高度？

2.影片中擺錘為何不是完全的在同一水平面上?

1.由前面的結果得知支點到平面距離(即錐擺的垂直高度 $H$ )為：

$H=Lcos\theta =\frac{g}{\omega ^{2}}$

所以錐擺垂直的高度和角速度與所在位置的重力有關；質量不影響旋轉角度所以不改變錐擺的垂直高度。

2.我們擷取高速攝影機的圖片可以看見

analysis of conical pendulum

中柱偏移了，所以理論支點到實際支點位置多了一段距離，又因每個擺長與中柱的 $\theta$ 皆不同，所以可以看見擺長的[理論支點不共點]，如果擺長不共支點那擺錘也就不會在同一水平面上。
因此支點到擺錘的垂直距離應該考慮系統上造成的誤差，錐擺擺錘的垂直高度 $L\times cos\theta$ =理論值-(理論支點道實際支點的高度差)。

關於實驗

1.本實驗於2011全國物理教學及示範研討會中發表。

2.擺線選擇不易彎曲且質量較輕的材料為宜。

3.操作時三組擺錘要確定角速度要相同。

參考資料

ROTATING PENDULA – LENGTH VS. HEIGHT(University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

Lecture Demonstration Analysis Sheet.

Lee Larson and Roderick Grant, The Airplane Experiment, TPT 29, 564-565 (1991).

製作

邱瑋國

指導老師

朱慶琪

撰稿

邱瑋國

發佈於物理

落下的加速度比重力加速度還大？

目的

演示物體落下的過程中，其移動與轉動的情形。

實驗

實驗裝置：
板子的一端用鉸鏈鎖在底板上，另一端抬高且放上一顆球，兩端之間有固定在板子上的接球籃。
1.讓抬高的板子自由落下，觀察球是否掉入接球籃裡。

2.改變板子抬高的高度。

原理思考

1.球掉落接球籃的條件是什麼？
2.板子抬高的高度有何影響？

球放在板子頂端，假設只受重力作用。板子轉動時，鉸鏈一端視為支點，受重力產生的力矩作用而轉動。若板子上的接球籃轉動到球的正下方，當球落下時可進入接球籃裡。
板子因為底部支點固定，重力向下產生一個力矩

$\Upsilon =\frac{1}{2}mgLcos\theta =I\alpha$

$L$ 為PP’線段距離，而 $I$ 為板子繞P點的轉動慣量

$I=\frac{1}{3}mL^{2}$

將轉動慣量代入可推得角加速度

$\alpha =\frac{3g}{2L}cos\theta$

故得知P’點的切線加速度

$a=L\alpha =\frac{3g}{2}cos\theta$

因為要和重力加速度（垂直方向）做比較，所以其垂直分量為

$acos\theta =\frac{3g}{2}cos^{2}\theta$

若垂直面的加速度比重力加速度快的話，板子就會比球更快到達，也就是

$\frac{3g}{2}cos^{2}\theta > g$

當 $\theta < cos^{-1}\sqrt{\frac{2}{3}}\cong 35^{\circ}$ 時，板子會比球更快到達桌面，讓板子上的接球籃可以先到球的下方接到球。

討論

1.如果用不同質量的球，結果如何？
2.當板子與底板夾角超過35度時，結果如何？

1.不同質量的球不會影響球的加速度，結果不變。
2.此時球的下落加速度會大於板子，所以球會先撞到板子而無法進入接球籃。

關於實驗

用簡易的方式做出相似的實驗，讓手掌在肩膀上方，手心朝上，將硬幣放在手肘上後，嘗試接住硬幣。

參考資料

HINGED STICK AND FALLING BALL (University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

“Falling faster than in free fall?”, Eur. J. Phys. 25 (1), 2004, pp. 63

“Falling Sticks and Falling Balls”, The Physics Teacher, 40 (6), 2002, pp.333

製作

廖彥霖

指導老師

朱慶琪

撰稿

廖彥霖

發佈於物理

動量守恆-動態動量守恆演示

目的

從車子的跑動過程中，瞭解動量守恆和力矩變化的關係。

實驗

實驗裝置：有兩輛形狀、質量均相同的車子和一個蹺蹺板，車子一端裝有彈簧；此裝置模擬兩車「炸開」的動作，宛如一顆炸彈在空中爆炸成兩塊碎片時。
將兩車之間的彈簧壓縮(模擬內力)，用一卡板固定後放置在一個裝有軌道的蹺蹺板上並達平衡。
迅速把卡板抽開後，彈簧彈開時的作用力使兩車以相反方向運動，觀察兩車移動位置和蹺蹺板的傾斜狀態。
兩車等重時

兩車不等重的情狀下，重新觀察。

原理思考

1.兩車彈開時受力如何?

2.車子質量大小不同時，是否影響蹺蹺板的平衡?

1.當彈簧彈開時，因為作用力和反作用力相同，所以兩車( $a$ 車、 $b$ 車)分別受到相同的作用力 $F$ ，使得靜止的兩車有速度 $V_{a}$ 、 $V_{b}$ 。

2.由於動量守恆所以

$V_{a}M_{a}=V_{b}M_{b}......\left ( 1 \right )$

( $M_{a}$ 、 $M_{b}$ 代表a車、b車質量)

位移 $S=Vt$ ，代入(1)式可得

$S_{a}M_{a}=S_{b}M_{b}......\left ( 2 \right )$

在等式左右均乘上重力加速度 $g$ ，可得

$\tau _{a}=S_{a}M_{a}g=S_{b}M_{b}g=\tau _{b}......\left ( 3 \right )$

剛好是車子在蹺蹺板上產生的力矩，所以左右兩邊力矩相同，蹺蹺板保持平衡。
我們也可以從此觀察中，瞭解到一個系統在外力和為零的狀況下，動量是守恆的；或說在內力的作用下，動量保持定值。

討論

1.如果考慮摩擦力的情況下，結果如何？
2.除了力矩可以解釋外，可否用其他觀點解釋？

1.因為兩車材質、外型及質量是一樣的。當一部車子外加砝碼後整體質量增大，所以輪子與軌道間的摩擦力亦增加，兩車力矩不再相等，蹺蹺板會傾斜向較輕的車子方向。
2.可將兩車視為一個系統，從系統質心的角度來解釋。由於系統不受外力，所以兩車在卡板抽離前後其質心位置均未改變，宛如一顆炸彈在空中爆炸成兩塊碎片時，其質心亦沿原來未爆炸前的方向運動。

關於實驗

1.本實驗於2011全國物理教學及示範研討會中發表。
2.可同本網站中實驗動量守恆比較。

參考資料

CENTER OF MASS – CARTS ON BALANCE BOARD (University of Maryland Physics Lecture-Demonstration Facility)

University Physics, John Wiley & Sons, Inc, 1995, pp. 198-200.

製作

廖彥霖

指導老師

朱慶琪

撰稿

廖彥霖

發佈於物理

抗力錐擺

目的

演示物體進行錐擺運動時，繩子張力造成的影響

實驗

架子上有一條細繩，左邊繫著一個鋼珠，繩子另一端則掛著一個砝碼。起動鋼珠使之旋轉形成錐擺運動，並觀察其變化。

用手控制繩子張力，觀察錐擺的變化。

原理思考

為什麼較輕的鋼珠經由旋轉就可以與較重的砝碼抗衡？
錐擺的擺角會受到什麼因素影響呢？
若砝碼質量增加，錐擺會發生什麼變化呢？

當錐擺擺動的時候，繩張力除了抵抗重力外，還要提供鋼珠做圓周運動所需的向心力。
整個系統的示意圖如下：

cone pendulum and centripetal force

其中

$m$ ：鋼珠的質量

$M$ ：砝碼的質量

$\theta$ ：錐擺頂端的擺角

$T$ ：繩子張力

欲求出平衡狀態時錐擺的擺角 $\theta$

鉛直方向：靜力平衡，所以 $Tcos\theta =mg$

又因 $T=Mg$

可得 $cos\theta =\frac{m}{M}$

處於平衡狀態時，錐擺的擺角與繩子兩端重物的質量有關。

若把錐擺當成系統，繩子質量不計，系統在穩定狀態時，鋼珠受到兩個力:繩子張力 $T$ 和鋼珠的重力 $mg$ 。把錐擺的頂點當成轉軸，系統受到重力產生的力矩 $\tau=mgr$ ；而系統的角動量則是 $Rmv$ ，其中 $r$ 為錐形底部的圓半徑； $R$ 則是錐形的斜邊長。

在「移動」裡，「力」能改變物體的「動量」；而在「轉動」裡，「力矩」則會改變系統的「角動量」。錐擺的過程中，角動量並不守恒，但由於力矩的方向永遠都會與角動量方向垂直，所以，錐擺系統的「角動量方向」會一直改變，「角動量大小」則維持不變。

比較不同繩張力產生的錐擺，設 $r_{1}>r_{2}$ ，由於角動量大小不會變，我們可以列出等式：

$r_{1}m\upsilon _{1}= r_{2}m\upsilon _{2}$ (左右同除以 $m$ )

得到 $r_{1}\upsilon _{1}= r_{2}\upsilon _{2}$

鋼珠做圓周運動的向心加速度 $a_{c}=\frac{v^{2}}{r}$

$a_{c2}=\frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}=\frac{(\frac{r_{1}}{r_{2}}v_{1})^{2}}{r_{2}}=\frac{{r_{1}}^{2}}{{r_{2}}^{3}}{v_{1}}^{2}$

$\therefore a_{c2}=a_{c1}\left (\frac{r_{1}}{r_{2}}\right )^{3}$

綜合第2點的結論，若右側的砝碼 $M$ 變重，其錐擺的擺角即 $\theta$ 會增加，向心加速度也會增加。