科學活動

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熱情溫度計

目的

觀察蒸氣壓對溫度的關係

實驗

用手握住熱情溫度計的下半邊，利用手溫加熱，看看熱情溫度計裡的液體有何變化。

原理思考

1.為什麼液體會全部都到上層呢？

2.液體和氣體何者受熱膨脹比例比較大？

3.如果只是熱膨脹，那底部的液體是怎麼全部升上去呢？

當手握在底部的動作是對底部的液體加熱，此時，直觀的想法是熱膨脹，沒錯是熱膨脹，但是，仔細想想，如果是液體的膨脹，上下應該還是都有液體，只是總體積增加了，而且其增加的比例應該很少。從上述的結果看來，那只剩下氣體膨脹，但是，光靠下半邊的氣體膨脹真的有辦法把液體全部擠上去嗎？實際上，液體是被氣體擠上去的沒錯，但是，是額外的氣體分子所造成的。因為裡頭的液體是低沸點液體，溫度上升時容易氣化（或可說高溫時的蒸氣壓vapor pressure大），造成下方氣體分子數增加，因此，就會有足夠的氣體分子數可以把液體全部擠上去。

討論

熱情溫度計裡的液體可不可以換成水？

參考資料

"Fundamentals of Physics", 5th ed., John Wiley & Sons, 1997, New York. Ch19-5., Hallday, Resnick, Walker

製作

市售

指導老師

朱慶琪

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

氣體膨脹

目的

演示氣體的熱膨脹(thermal expansion)幅度。

實驗

在瓶蓋的平滑處沾水倒放在寶特瓶的瓶口。雙手搓熱輕輕地將寶特瓶握實，幾秒鐘後，將會看到瓶蓋在瓶口一直跳動。

原理思考

空氣是否容易熱膨脹？

如果空氣可以視為理想氣體，則可以套用理想氣體方程式。在這個系統的討論下，可視體積為定值。系統一但被加熱，壓力會等比例增加（溫度的單位必須為絕對溫度），若壓力若比瓶蓋的重力大，就可突破而出。相對於液體，液體被加熱時，其膨脹幅度遠不如氣體，這是因為分子間的吸引力較大之故。但被加熱時體積仍會變大，在實驗上，我們可以觀察它的膨脹幅度而決定它的熱膨脹係數。雙手的溫度約30°C，以這樣的溫度和室溫的差距，是造成寶特瓶裡空氣膨脹的主因。

討論

1.瓶蓋有沾水和沒沾水是否會影響演示效果？

2.夏天做這個實驗，效果會比冬天好或差？

3.小瓶子(750ml)和大瓶子(2000ml)的效果有差別嗎？

1.沾水的目的是為了讓瓶蓋與瓶口更密合。我們會看到瓶蓋會被氣體擠壓而有暫時性打開的情況，再度密合時，若密合不緊，則空氣會從漏縫逸散，就觀察不到瓶蓋被擠壓打開了。 2.這個實驗是手溫與室溫相差愈大，瓶蓋彈跳的情形會愈明顯。根據熱力學第零定律，溫度一樣的物體是不會彼此傳熱的。室溫與手溫相差愈小，手的熱就愈難傳給寶特瓶。也就是說，冬天時，室溫與手溫相差較大，較易觀察到瓶蓋的跳動。 3.小瓶子的空氣比大瓶子少，手溫如果一樣，則給熱的能力應也相同，在這樣的條件下，小瓶子的空氣溫度容易上升，壓力上升的速度也會比大瓶子快，讓瓶蓋彈跳的效果應該較明顯。

關於實驗

由於空氣為無色不可見，在內部點煙，可以更明顯看出空氣在往外竄出的模樣。

參考資料

“Fundamentals of Physics", 5th ed., John Wiley & Sons, 1997, USA, Chapter 19

製作

王中川

指導老師

朱慶琪、張宇靖

撰稿

王中川

發佈於物理

橡皮圈熱機

目的

利用橡皮筋因受熱而張力變化的特性來帶動轉輪。

實驗

準備一個腳踏車輪框，取其外框與轉軸部分，並且用橡皮筋取代鋼條，架上支架。

利用熱風機的高溫對左（右）半邊的橡皮筋加熱，即可使橡皮筋熱機轉動。

原理思考

為什麼加熱就可使橡皮筋熱機轉動？

橡皮筋受熱後的鬆緊程度會與沒受熱的橡皮筋的鬆緊程度不相同，會造成轉軸的偏移，進而形成一力舉使得轉輪轉動。

討論

觀察橡皮筋熱機的轉動方向來思考橡皮筋受熱後鬆緊程度的變化。

關於實驗

在進行實驗之前須確定轉軸位於外框的圓心，否則原有軸心偏移所造成的力舉太大，使得因受熱偏移的力矩無法克服，因此無法成功轉動。

參考資料

Rubber Band Heat Engine(Haverford College Physics Demo)

製作

陳顥文

指導老師

朱慶琪、鄭劭家、陳泰利

撰稿

陳顥文

發佈於物理

熱漲冷縮

目的

所有的物體都是熱漲冷縮嗎？介紹違反經驗的物理現象。

實驗

實驗裝置：在一迴路中加入一段金屬絲並通電流（使其溫度上升），觀察通電前後金屬絲的長度變化。

原理思考

一通電，金屬絲即明顯縮短，使得砝碼被往上拉。一般而言，物體不都是熱「漲」冷縮嗎？那麼因通電流而導致溫度上升的金屬線長度不是應該變長嗎？怎麼反而會變短呢?

實驗中所使用的是形狀記憶合金(memory alloy)。簡單地說，此類物質結構在溫度高時比溫度低時來得更為緊密，使得溫度上升時，其體積反而變小（熱縮）。實驗中通電的目的是為了加熱該金屬絲，使其溫度上升，以演示相關現象。

討論

生活中還有其它非熱漲冷縮的例子嗎？

生活中常間的橡皮筋也有類似的行為，你可以做一個小實驗驗證。在橡皮筋下方吊個小物使其伸長，然後用打火機稍微加熱一下橡皮筋，你會發現橡皮筋明顯縮短。有人用這樣的概念造出「橡皮筋熱機」，其原理即是利用其加熱後縮短的性質，再加上溫差來設計引擎。

關於實驗

本實驗利用通電的方式加熱，取代用火所造成的不均勻加熱。

參考資料

Wikipedia: Shape memory alloy

製作

v.1 易台生

v.2 黃時霖

指導老師

易台生、朱慶琪

撰稿

朱慶琪

發佈於物理

壓縮點火

目的

絕熱壓縮的演示。

實驗

在封閉的管內置入一小片紙屑，然後快速壓縮管內氣體，觀察其變化。

1.全景觀察

2.將鏡頭拉近觀察

原理思考

為什麼紙屑會燃燒？

當體積快速被壓縮的情況，可視為一種絕熱過程(Adiabatic process)[2]，上述實驗過程如同右圖中的B點延著紅線到A點，因此，當體積迅速縮小時，壓力上升且溫度升高，使得壓克力管內的小紙屑達到燃點而燃燒。

fig11

討論

試比較絕熱壓縮與等溫(isothermal)壓縮的差別。

絕熱過程有兩種：一、利用絕熱材料，阻隔系統與環境的熱能交換。二、過程夠快，使系統來不及與環境交換熱能達到熱平衡。

關於實驗

可與本網站中的絕熱膨脹做比較。

參考資料

"Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York. Ch20., Hallday, Resnick, Walker

製作

市售

撰稿

黃時霖、朱慶琪

發佈於物理

絕熱膨脹 Adiabatic Expansion

目的

絕熱膨脹現象的演示。

實驗

用打氣筒將空氣持續打入保特瓶中，直到保特瓶中的壓力大到將瓶塞迸開。觀察瓶塞迸開的瞬間，保特瓶中的氣體有何變化。

實驗演示

原理思考

為什麼會產生白色像雲一般的現象，成因為何？

高壓的氣體快速從保特瓶中衝出的過程，因為速度極快，可視為一種絕熱膨脹(Adiabatic Expansion)，根據熱力學第一定律：

∆U=Q-W

其中∆U：系統的內能變化，而氣體的內能只跟溫度有關

Q：氣體與外界做的熱交換

W：氣體對外界作的功

此實驗因為氣體膨脹的時間極點，氣體來不及與外界作熱交換，故 Q=0，又可將這次的膨脹過程稱為「絕熱」。又因為瓶子內部的氣體膨脹，對外界的空氣作正功，使得∆U為負值，顯示瓶子內的氣體內能(溫度)下降，使得溫度達到酒精、水氣的凝結溫度，使其凝結，也就是實驗觀察到的白霧。從p-v圖來看，氣體從A點到B點，在A點時，氣體壓力很大，體積即為瓶子的容積，當氣體膨脹到B點時，壓力下降至1大氣壓，體積膨脹。 fig1 700x726

注意：此p-v圖僅為示意圖，實際情況並不能針對此實驗繪製p-v圖，因為圖上路徑底下的面積為對外界作的功，然而繪製此路徑的前提是系統過程中必須保持在「準靜態過程」(Quasistatic Process)，換句話說，要能夠在p-v圖上繪製路徑，其過程必須非常慢，才能確定路徑。(不同的路徑會造成不一樣的功)

討論

1.試比較絕熱膨脹與等溫(isothermal)膨脹的差別。

2.一般生活經驗裡，使用噴霧劑（殺蟲劑、空氣清香劑、瓦斯罐等），氣體在噴出後，金屬的罐身會變得涼涼的，這也是絕熱膨脹的例子。還有打開易開罐飲料時，瓶口也會出現霧狀的現象，也是類似的現象。

3.此實驗在瓶子內加入酒精，能否用其他液體來操作此實驗？

關於實驗

1.可同本網站中的壓縮點火做比較。

2.實驗操作時保特瓶需稍加固定，以免飛出。

3.若在保特瓶加入極少量的水或酒精，演示效果更佳。

4.瓶塞塞緊一點亦可提高演示效果

參考資料

“Fundamentals of Physics", 7th ed., John Wiley & Sons, 2005, New York. Ch20., D. Halliday, R. Resnick, J. Walker

絕熱過程有兩種：

一、利用絕熱材料，阻隔系統與環境的熱能交換。

二、過程夠快使系統來不及與環境交換熱能達到熱平衡。

製作

王中川

指導老師

朱慶琪、張宇靖

撰稿

黃時霖、朱慶琪、盧楷文

發佈於物理

鴨子喝水（大型喝水鳥）

目的

一旦鴨子開始喝水，就會重複喝水的動作。這是為什麼？觀察裝置的結構及操作過程，思考其原理。

實驗

鴨子喝水是常見的科學玩具，其吸引人的地方在於：將鴨子的頭部（嘴喙）浸入水中後放手，鴨子回到平衡位置附近搖搖晃晃，不久後，又開始自動將頭部浸入水中，繼續喝水。過程可以不斷重複，非常有意思。

一般大小的市售版本[1]

為便於詳細觀測,本實驗室自製第三版大型喝水鳥。

本實驗室自製第四版大型喝水鳥。

原理思考

其實鴨子喝水是個熱力學過程，是將熱能轉為機械能的過程。為什麼可以這麼說？我們先作以下的觀察和思考：

1.鴨子的頭和身體分別是玻璃球，透過一根玻璃管連接。

2.將頭部浸入水中時，內部液體怎麼流動？

3.頭部濕了以後，溫度會下降還是上升？會怎麼影響氣體的壓力？

4.頭部浸水後放手，是什麼讓鴨子回到直立的狀態（進而搖晃）？鴨子的重心在哪裡？會因為液體的流動而改變嗎？

5.搖搖晃晃的過程有什麼作用？

6.鴨子的頭部（嘴喙）是什麼材質？會影響結果嗎？

7.內部液體是特殊的嗎？有什麼性質？水可以嗎？

鴨子直立時（略微前傾）是他的平衡狀態。將鴨子的頭部浸入水中，放開手，鴨子會因為重心在下方而回復直立狀態。頭部的絨布材質因為浸濕的關係，使得頭部玻璃球裡的溫度降低（水份蒸發的過程將熱量由玻璃球帶走），低溫時液體的飽和蒸氣壓低，造成頭部玻璃球的氣壓低於肚子玻璃球的氣壓，所以肚子玻璃球中的液體因為壓力差被擠壓到頭部。當有足夠多的液體被擠壓到頭部時，鴨子的重心移到上半部，當造成的力矩足夠大時，就會讓鴨子低頭。低頭後，身體接近水平，使得頭部與身體的玻璃球連通，兩邊的氣壓達成平衡，液體也由頭部流回肚子，此時重心又回到下方，所以鴨子又抬頭了。搖晃的過程會加速水分從頭中蒸發的速度，進而使溫度下降，氣體凝結，壓力下降，加速液體上升。由於以上的運作原理，填充在鴨子內部的液體必須要有容易凝結的特點（低沸點），如此才能在溫度略微下降的情況下有足夠的氣體凝結成液體，進而改變氣體壓力。所以一般填充的液體以高揮發性（低沸點）為主，例如“methylene chloride”（二氯甲烷), “ether”（乙醚）等。

討論

1.環境的濕度會影響鴨子重複喝水的頻率嗎？

2.水杯裡的水的溫度會影響鴨子重複喝水的頻率嗎？水冷些或熱些的影響是什麼？

3.鴨子可以重複喝水的動作，能量是哪裡來的？有沒有違背能量守恆定律？一般的單擺在擺動一段時間後也終會因為摩擦力而停止，為什麼鴨子不會？我們的確看到當鴨子搖晃的程度漸漸變小後，不一會兒怎麼又「自動」將頭伸入水中。這「神奇」的能量是哪裡來的？

關於實驗

1.此一版本的喝水鳥可在市面上購得，參考：松強企業，地址：台北市延平北路2段36巷10號，電話：02-27252238，傳真：02-2725-2303。大量採購單價可以低於台幣70元。國外網站亦有販售，但是是台灣製造出口，故價錢較高，約美金8元左右，參考：Edmund Scientific: The Famous Drinking Bird Pkg. Of 2

2.本實驗室自製之大型喝水鳥高約60cm，市售約20cm高。

參考資料

Edmund Scientific: The Famous Drinking Bird Pkg. Of 2

製作

V.1 松強企業(市售版20cm高)

V.2 戴伯誠

V.3 曾助理

V.4 曾助理

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪

發佈於物理

輻射計？(Radiometer)

目的

觀察轉輪旋轉的機制

實驗

實驗裝置：封閉玻璃容器的中間支撐一可自由旋轉的轉輪，轉輪由四片葉片組成，葉片的兩面分別為黑色與白色。依序用手電筒（incandescent lamp）、LED（Light-emitting diode）、紅光雷射筆、綠光雷射筆照射轉輪的黑色葉片與白色葉片。觀察轉輪是否轉動。

原理思考

1.如果是光壓？光子打到白色葉片時，動量變化應是打到黑色葉片的兩倍（想一想為什麼？），所以不論照黑色面或白色面，轉輪應該都會轉，而且照白色那面時，應該轉動更快才是。可是這跟觀察三不符？

2.是電磁作用嗎？仔細觀察轉輪的結構，組成的都是元件都是絕緣體，如果是與電磁現象相關，會有產生電流或磁場等裝置，似乎沒有看到？

3.如果照光就會轉，那為什麼照射雷射光時，應該卻一點兒動靜也沒有？（觀察二）

4.難道是光電效應？那使用雷射或LED手電筒不是更好嗎？

5.照黑色與白色有差別？因為黑色容易吸熱，所以造成旋轉的機制與熱有關嗎？

討論

1.玻璃容器內部是一大氣壓？還是真空？抑或是某特殊壓力？

2.不小心打破玻璃容器後，直接照光於轉輪上還會有同樣的結果嗎？

3.玻璃容器內部需要填充特別的氣體嗎？

4.如果葉片不是一面黑一面白，轉輪會轉嗎？

關於實驗

本裝置是由網路購得的玩具，給滿八歲以上的孩童使用，價錢約US＄10左右。但其物理原理卻值得深思。

參考資料

"How does a light-mill work?"

"Edmund Scientific: Radiometer"

“The Radiometer and How it Does Not Work"

"The radiometer: a 130-year-old mystery"

製作

市售

撰稿

朱慶琪

發佈於物理

史特林引擎

目的

藉由觀察史特林引擎的運作，瞭解抽象的熱力學循環過程。

實驗

將組裝完成的史特林引擎放在一杯熱水上，稍等一會兒，待熱傳導至引擎氣室的下方，此時稍微轉動飛輪，引擎即開始運作。接下來引擎就靠著熱水提供的能量，持續轉動。

原理思考

史特林引擎與熱力學的關係為何？

史特林引擎對應的熱力學循環過程為： fig11 縱軸是工作氣體的壓力，橫軸是工作氣體的體積，r 為壓縮比。

a 至 b，等溫壓縮，工作氣體的溫度不變，但壓力上升 b 至 c，等體積加熱，從熱水獲得熱能 c 至 d，等溫膨脹，工作氣體的溫度不變，但壓力減小 d 至 a，等體積冷卻，將熱能排至環境所以史特林引擎其實是由兩個等溫過程及兩個等體積過程組成的熱力學循環。值得注意的是，在T1 與T2固定的情況下，史特林引擎的效率與最佳的「卡諾循環」(Carnot-cycle engine) 是一樣的，其效率都等於 $\epsilon _{c}=1-\frac{T_{1}}{T_{2}}$

討論

1.引擎的循環對應什麼樣的熱力學過程？氣體在不同的階段、其壓力、體積及溫度的關係如何？

2.飛輪的旋轉方向與引擎的機構設計有關嗎？還是由初始旋轉方向決定？

3.如果熱水的溫度增加，會影響什麼？如果要讓引擎持續運轉的時間增加，有什麼方法可以達成？

關於實驗

1.本裝置原型機是由萬能科技大學的周鑑恆教授研發而成，經過「德盟（Do More）工作室」商品化，在市面上可以購得。

2.關於設計的原理及說明，可以參考周鑑恆教授所著「輕鬆學物理的第一本書- 31個有趣的物理實驗」。

3.周鑑恆教授對於史特林引擎的研發及改良仍不斷持續中，已開發了可以載人的史特林引擎車輛，更多資訊請參考Do-more 德盟工作室

4.我們在實驗的過程中，辦了一個小型比賽，參考影片…。比賽的方式是利用光電閘紀錄飛輪轉動的圈數及總轉動時間，最多圈及時間最長者勝出。這個方法讓實驗的動機及趣味都增加了，提供大家參考。

參考資料

Chapter 20 of “University Physics with Modern Physics”, 11th Edition

製作

市售

撰稿

朱慶琪

發佈於物理

蒸氣船_"崖上的波妞"裡的經典道具！

目的

表現物質相變化體積的改變及液體的反作用力。

實驗

實驗裝置：取一片保利龍或木板鑽兩個洞做為船身的甲板。將一鋁(或銅)管彎折成螺旋型，兩末端同向彎折90度安插於甲板中，做為水面下的出入管口。以酒精燈或蠟燭作加熱來源。

1.先將船顛倒沒入水中，使其管中盡量充滿水。不讓水流出的情形下扶正船身，使其漂浮於水面。

2.放上酒精燈或蠟燭，加熱甲板上螺管的部分。幾分鐘後觀察船身情形。

原理思考

1.船起動的原因為何？

2.船為何能作持續推進？

3.如果要維持運行，需要吸入與排出的一樣的水量，否則水會排光而停止。但依據反作用原理，船在此時向前與向後的推力不是一樣嗎?又如何前進？

1.管子中央水受熱汽化，末端則仍是水。水氣化成水蒸氣體積變大，推動末端的水排出管外，依據反作用力原理，推動船前進。

2.隨後在管末部分水蒸氣冷卻液化，管中壓力變小，水便從管外被吸入。而後水蒸氣受熱膨脹加上重新汽化的水蒸氣繼續做推進的程序。

3由於水分子被推出管外時是同一方向；而四面八方的水分子則皆有機會被吸入，即吸入時的反作用力非單一方向，合力的結果不如推出的情形。

討論

1.管子兩個末端的水是同時進出，或是一進一出?

2.管子兩末端若反方向會如何?

3.一定要用鋁或銅管嗎?

4.一定要彎成螺管形式嗎?

5.沒有看過正式的船隻用此種形式設計，為什麼?

關於實驗

1.以玻璃管（最好是耐熱的石英玻璃管）做實驗目的是要看出水汽化的情形，但須要做較大範圍的火焰加熱區，並須注意冷卻後才可重新充水做實驗，以免玻璃破裂。

2.以雷射筆照射出水口可作進出水狀況的觀察。

參考資料

“PHysics, fun, and beyond."

“The flying circus of physics with answers"

製作

v.1 張惟絮、張正忠、曾助理

指導老師

陳泰利

撰稿

陳泰利

發佈於物理

尿尿小童

目的

熱膨脹(thermal expansion)現象的應用。

實驗

1.先將尿尿小童泡在熱水裡一段時間

2.再將尿尿小童泡泡進冷水裡

3.最後放在一平台上，將熱水淋在尿尿小童上，之後就可以看到小童在尿尿了。

原理思考

為什麼要交替使用冷水、熱水？

1. 一開始將尿尿小童泡在熱水裡，此時，小童體內的空氣會因熱膨脹而被排出體外2. 將尿尿小童泡進冷水會使原先因熱膨脹的空氣冷縮，此時空氣冷縮後多出來的空間即會被水所佔據。 3.將內部含水的小童淋熱水加溫，使空氣再次膨脹將體內的水推出，就可以看到小童尿尿了

討論

於第二步驟，把小童泡入冷水中，有時候小童會沉入底部，有時會浮在水面，這是為什麼呢？

關於實驗

1.當小童尿完後可立即放入冷水中，可省下第一步驟

2.尿尿小童陶偶可在市面上購得

參考資料

“Fundamental of Physics", 5th ed., John Wiley & Sons, 1997, U.S.A., Ch19-5., D. Halliday, R. Resnick, J. Walker

製作

市售

撰稿

黃時霖、王中川

發佈於物理

熱膨脹

目的

觀察二維熱膨脹的現象。

實驗

原理思考

為何一開始圓盤無法穿過圓洞，而圓洞燒過後便可穿過？

大部分的物質在溫度上升時都會產生膨脹的現象，影片中就是此現象的演示，一開始圓洞面積略小於圓盤，但當圓洞加熱過後膨脹而變大，使得其面積略大於圓盤，因此燒過後便可穿越過。

討論

1.每一種物質加熱過後的膨漲程度都一樣嗎？

2.試猜測什麼東西會運用到物質間不同熱膨脹系數的性質？

3.有非熱漲冷縮的物質嗎？

1. 不，每一種物質都有自己的性質，當溫度升高一定溫度時，不同物質膨脹程度也不相同，而那影響著溫度上升時膨脹程度的性質則被稱為熱膨脹系數。 2.聖誕樹上掛的燈泡一閃一滅，便是利用不同熱膨脹係數，使兩種不同材質彎曲程度不同而製造出來的。3. 有的，於本站另外之演示實驗中就有一特例：熱縮冷漲本實驗在加熱後需注意儀器的高溫，以避免燙傷！

參考資料

Fundamentals of Physics, 6th ed., John Wiley & Sons, 2001, New York

製作

曾助理、周瑞星

指導老師

易台生

撰稿

戴伯誠

發佈於物理

都卜勒效應

目的

體驗聲音的都卜勒效應(Doppler effect)。

實驗

原理思考

發聲器（波源）朝觀察者（攝影機）靠近、遠離時，所聽到的聲音是如何改變的？是什麼造成了這樣的改變？

當波源和觀察者有相對運動時，觀察者接收到的頻率與波源發出的並不相同，而這種現象就是都卜勒效應。如右圖，當波源（中間白點）向左邊移動時（相當於影片中發聲器向觀察者靠近時），波源左邊之波距為靜止時原波距扣除波源於兩波間隔時間內所移動之距離，所以頻率變上升波長變短，而波源右邊則反之。因此，當發聲器靠近我們時，將會感覺到聲音變的較為尖銳，遠離時感覺到較為低沉。

討論

1.影片中發聲器做圓周運動於何處時造成的聲音最為尖銳？何時最為低沉？

2.觀察者不動，音源速度對聲音影響關係？

3.音源不動，觀察者速度對聲音影響的關係？

1.當其圓周運動的切線速度方向恰指向觀察者時最為尖銳，背離觀察者時最為低沉。

2. 若我們假設相鄰前後兩波所發出之時間分別為 $t1$ 、 $t2$ ，取音源指向物體方向為正，波速為 $\upsilon$ （用於此為聲速）物體移動速度為 $\upsilon _{s}$ （注意！ $\upsilon _{s}$ 包含了值及表方向性的正、負值），則可得 $\upsilon \left ( t1-t2 \right )= \lambda$ 且 $\left ( \upsilon -\upsilon _{s} \right )\left ( t1-t2 \right )= \lambda {}'$ 而波速 $\upsilon$ 為定值＝頻率 $f$ $\times$ 波長 $\lambda$ 代入 $\upsilon = f\lambda$ 可得 $\left ( \upsilon -\upsilon _{s} \right )\left ( t1-t2 \right )= \frac{\upsilon }{f{}'}$ 及 $\upsilon \left ( t1-t2 \right )= \frac{\upsilon }{f}\rightarrow \left ( t1-t2 \right )= \frac{1}{f}$ 前式左右相乘 $\frac{f{}'}{\upsilon -\upsilon _{s}}$ 得 $f{}'\left ( t1-t2 \right )= \frac{\upsilon }{\upsilon -\upsilon _{s}}$ ，然後再以後式帶入便可得 $f{}'= \left ( \frac{\upsilon }{\upsilon -\upsilon _{s}} \right )f$ 。

3.假設觀察者以 $\upsilon _{0}$ 速度向音源接近，且每隔 $T{}'$ 時間可接受到一個波。因此， $T{}'\left ( \upsilon +\upsilon _{0} \right )= \lambda$ ，因 $\lambda = \upsilon /f$ 所以 $T{}'\left ( \upsilon +\upsilon _{0} \right )= \frac{\upsilon }{f}$ ，而頻率 $f$ 為週期 $T$ 之倒數，而得到 $\frac{1}{f{}'}\left ( \upsilon +\upsilon _{0} \right )= \frac{\upsilon }{f}$ ，整理後便可得到， $f{}'= \left ( \frac{\upsilon +\upsilon _{0}}{\upsilon } \right )f$ 綜合討論２中的討論結果，當音源和觀察者相向而行： $f{}'= \left ( \frac{\upsilon +\upsilon _{0}}{\upsilon-\upsilon _{s} } \right )f$ 。試想，如果音源和觀察者是背向、同向又會如何？