科學活動

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非歐幾何——雙曲面

目的

認識不同於一般視覺或一般認知的歐氏(幾何)空間

實驗

實驗裝置：雙曲面模型、黃色細繩(黑色之對比色)、量角器三個。

我們都知道三角形內角和為 $180^{\circ}$ ，然在本實驗中用繩子在曲面模型上圍出一個三角型，並量測這個三角型的內角和，可觀察出本實驗與歐氏幾何的差異。

原理思考

為何曲面上的三角形的內角和不是 $180^{\circ}$ 呢？

在歐氏幾何中，三角形內角和為 $180^{\circ}$ 。然數學上的空間並非只有一種，每種空間都有不一樣的性質，一般我們熟知的空間為歐氏幾何。並非所有的空間都和歐氏幾何的公設一樣。例如在歐氏空間上的三角形角度和為 $180^{\circ}$ ，但實驗中雙曲面上的三角形之角度，經量測後發現角度和明顯小於 $180^{\circ}$ 。此種現象亦可延伸思考其他的幾何學，例如計程車幾何就是其一(又稱曼哈頓距離)，假設計程車在一個規則的城市中行駛（方格），他只能水平和鉛直移動。 Manhattan distance 220x215 若要從A點走到B點，以一般的思維，就是將A和B直接穿過格子連起來。但在計程車幾何上，就只能走垂直或水平的路徑上，也就是說AB線段可以是鋸齒狀，也可以是兩條垂直線段，且此兩條直線長度都一樣。

問題討論

以本實驗為例，在歐氏空間中，若角度不變但邊長變長，三角形的面積會增持續加；同樣的情況，在曲面空間中，三角形的面積會增加？減少？不變？其角度和會增加？減少？不變？

在歐氏空間上的三角形，角度不變的情況下，隨著長度的增加，面積可趨近於無窮大；但在雙曲面上，面積幾乎沒有改變，但角度和卻一直減少並趨近於0。

參考資料

“Lobachevskian Geometry”, 1829, Russia.

“The Science of Absolute Space”, 1832, Hungary.

維基百科(http://zh.wikipedia.org/zh-tw/曼哈頓距)

製作

v.1 詹翔豪

指導老師

易台生、朱慶琪

撰稿

詹翔豪

發佈於數學

一張紙可以對折幾次？

目的

演示折紙時有關數學及物理的原理。

實驗

將一張長約4.8公尺的紙，將短邊多次的對折，看看最多可以對折幾次。另外用一張約A0大小的紙，以田字型的方式對折，試試看可以對折幾次？

原理思考

可以無限次的對折嗎？可以或不可以的原因是為什麼？

因為將紙對折一次，紙會變成 $1\times 2= 2= 2^{1}$ 層；對折二次，紙會變成 $2\times 2= 4= 2^{2}$ 層；對折三次，紙會變成 $4\times 2= 8= 2^{3}$ 層；對折四次，紙會變成 $8\times 2= 16= 2^{4}$ 層，以次類推下去，對折八次，紙會變成 $2^{8}= 256$ 層。實驗用的長條紙張厚度為0.1mm，對折8次後厚度達25.6mm，將近市售半包A4影印紙厚度。想要折成256層時，外側紙張需拉的很長，且紙的延展性有限並視材質而定；因此，紙張受限於延展性的關係，讓我們折到一定程度後就無法繼續對折，參考下圖。

fig 220x113

若將紙採用田字型對折時可以折幾次，必須考慮紙張兩邊外側紙的延展問題。

討論

1.使用厚紙板等各式各樣的紙張嘗試，折疊的次數是否有所不同？

2.假設一張A4影印紙的厚度為0.05公分，臺北市地標101高度為508公尺，則將A4對折幾次時，折紙厚度會超過101的高度？（假如可以一直對折下去）

1.因為種類不同的紙之間的分子連結力不同，紙張的厚度也不同；所以對折次數除了紙張的延展性外，亦需考量紙張的厚度。 2.所以假如我們可以將一張紙對折20次的話，則此對折紙張的厚度將會比101還要高；但是，根據前述推論，我們根本無法對折到20次。

關於實驗

可用不同的紙張實驗。

參考資料

1.瀧川洋二，伽利略工房70個奇妙有趣的科學實驗”紙張最多折八次！？”，世茂出版社。

2.Folding Paper in Half 12 Times

指導老師

朱慶琪

撰稿

周艷伶

發佈於數學

消失的面積1

目的

觀察彩色壓克力三角形拼圖，變換排列方式後，討論幾何學上的謬誤。

實驗

實驗裝置：四塊不同顏色和不同形狀的壓克力拼圖、正方格背景（方格長寬皆相同）。

1.觀察第一種三角形拼法，數數看三角形的底跟高。

2.移動三角形拼圖，組成同樣的三角形，再數數看三角形的底跟高。

原理思考

1.前後兩種拼法的三角形，面積是否相同？

2.消失的面積跑哪裡去了？

1.如果我們認定前後兩個三角形，都是直角三角形，那麼三角形的面積為「底乘高除二」，由於兩個三角形的底和高皆相同，所以算出來的面積會是一樣的。但是後來拼的三角形卻少了一塊正方形的面積，顯見這兩個三角形並不一定是直角三角形。

2.這就是我們在幾何學上的犯的謬誤了，我們直覺及視覺的認定這兩個三角形都是直角三角形。事實上，如果們們仔細看紅色跟綠色的三角形拼圖，我們會發現，這兩個直角三角形斜邊的斜率並不相同，所以由這兩個斜邊組合成的斜邊，並不是一條直線，所以我們不能把他們組成的圖形當作直角三角形，意即不能使用「底乘高除二」這樣的公式。我們必須分別算出個別的面積，再相加，成為我們要的總面積。算出來了嗎？事實上，塗有顏色的拼圖的總面積是相同的。再仔細看，我們就會發現，第一個類直角三角形的斜邊有些「向下凹」，第二個類直角三角形的斜邊有點「向上凸」。這樣你就知道三角形消失的面積跑哪裡去了！ triangle

討論

1.三角形有哪些特性？直角三角形又有哪些特性呢？

2.現實世界中，建築師們用哪些方法來確認房屋的角是否為直線呢？

3.日常生活中有哪些斜邊，它們的用處是什麼？

關於實驗

可同本網站中的消失的面積2比較。

參考資料

Mad Physics: Triangle Brain Twister

製作

蔡昌翰

指導老師

朱慶琪

撰稿

蔡昌翰

發佈於數學

雨中跑步Running in the Rain

目的

網路謠言說：下雨天，走路會比跑步淋到較少的雨。真的是這樣嗎？

實驗

實驗裝置：利用灑水器來模擬下雨天，製作海綿小人，透過馬達帶動小人在速度慢(走路)、速度快(跑步)的過程中吸收水分來做實驗比較，驗證謠言的真實性

原理思考

如果「淋雨的多寡」區分成「正面淋到的雨」和「頭頂上淋到的雨」來分析。把下雨天看成是空氣中佈滿了水滴，「正面淋到的雨」並不會因為行走的快慢而有所改變（想一想為什麼？）；然而「頭頂上淋到的雨」的多寡決定在停留在雨中的時間，在雨中停留越久，淋到越多雨。所以網路謠言的說法並不可信，下雨天走路不會比跑步淋到較少的雨！

討論

如果在有風的狀況，要怎麼行走才會淋到比較少雨？

順著風向跑，才能減少「正面淋到的雨」，但是如果目的地方向與風向不一致時，最好的方法還是加快腳步吧！

參考資料

"Is it better to Walk or Run in the Rain?

實驗製作

梁國鴻、陳翰諄

影片拍攝

江孟謙

影片後製

盧楷文

指導老師

朱慶琪

撰稿

朱慶琪、盧楷文

發佈於物理

高斯分佈

目的

不管甚麼時候將小球往下倒，小球堆疊的圖形似乎都有一個趨勢，這是為什麼？觀察小球從落下到停止時的運動現象，思考其原理。

實驗

實驗裝置：裝置上方擺著交錯的鐵柱，當球落下時會與鐵柱發生碰撞，裝置下方收集各個區塊落下的球。讓球自由向下掉落觀察球分佈的狀況。

原理思考

為何球的分布總是呈現中間高而旁邊低的鐘型分布？

首先我們要先談到巴斯卡三角形，巴斯卡三角規則在於每一列的值都是上一列左邊右邊兩個值的和，如果以機率的角度就是上一列到下一列會有兩條路徑，走任一條路徑的機率都是50%。

gaussian distribution 01

我們利用鐵柱模擬球可以有相等的機會往右、往左，所以我們可以預測圖形會類似巴斯卡三角型最後一列的數值作圖，如果把最後一列作成長條圖圖形就會類似常態分佈，當巴斯卡三角型的越多列，最後一列的圖形會逼近常態分佈的圖形。

常態分佈的公式 $f\left ( x;\mu ,\sigma \right )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}exp\frac{-\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma^{2 }}$

$\mu$ 為機率密度函數均值

$\sigma$ 為標準差

當 $\mu = 0$ 、 $\sigma = 1$ 時我們稱之為標準常態分佈公式 $f\left ( x \right )= \frac{1}{\sqrt{2\pi }}exp\frac{-x^{2}}{2}$

利用標準常態的公式 $x$ 為橫軸、 $f\left ( x \right )$ 為縱軸，就可以得到標準的常態分佈圖形。

討論

1.圖形與理想分佈的差異來自於？

2.如果改變鐵柱的間距效果會如何？

我們利用希望球有對等的機率往右走往左走，機率只能預測結果並不等於結果，實際上要達到理想的狀況也是有一定的機率，因此圖形的分布也會每次也會不同。如果改變的方式為垂直間的移動，垂直間距縮小，球的水平速度與垂直下落的速度一樣，那球要碰到旁邊的鐵柱因為垂直距離變短而比較難藉由兩側鐵柱往旁邊移動，因此圖形會有集中的現象，反之垂直間距變大圖形會有分散的趨勢。

關於實驗

教具請置於水平面操作，注意塑膠球表面損耗影響實驗結果

參考資料

Normal distribution. Retrieved December 12, 2017, from https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

製作

v.5邱瑋國

指導老師

易台生、朱慶琪

撰稿

邱瑋國

發佈於物理

螢光效應

目的

了解螢光效應的原理

實驗

實驗裝置：將小瓶子中裝入不同顏色的螢光溶液，以紫外燈管照射小瓶子，觀察瓶子的亮度

原理思考

為什麼不同螢光溶液的瓶子在紫外燈照射之下有不同的亮度??

螢光的產生是螢光物質吸收特定波長的光線(例如:紫外線)，使電子吸收紫外線能量，從基態躍遷到較高的能階，之後電子經由不同的能階逐漸降回基態時，過程中的能量差會以光的形式發出，由激發態回到基態時，若所發出來的光在可見光範圍內，稱之為螢光，且不同螢光物質的能階大小不同，若能階差較大時，光的頻率較高，光的顏色會接近藍色；能階差較小時，光的頻率較低，光的顏色會接近紅色。

討論

日常生活中哪裡有用到螢光發光的原理?

1.日光燈管。日光燈管管壁有一層螢光物質，可將水銀所發出的紫外線轉換成可見光。 2.顯示器顯示器發出的各種光色，就是利用螢光體發出的色光混光而來，液晶顯示器的背光源，也是利用螢光體發光。

參考資料

Fluorescence, Retrieved December 12, 2017, from https://en.wikipedia.org/wiki/Fluorescence

製作

Mark Pottor (State Unversity of New York at Oswego暑期交換生)

指導老師

朱慶琪

撰稿

林世閔

發佈於物理

廚房物理學——棉花糖測光速?

目的

利用生活常用的電器及隨處可得的材料做簡易科學實驗。

實驗

實驗裝置：微波爐、棉花糖若干、尺、微波爐用餐盤將棉花糖均勻放置餐盤上，放置一旁。打開微波爐，將轉盤裝置取出（不讓轉盤轉動）。將裝有棉花糖得餐盤放進微波爐，關上門開始微波。當棉花糖受熱膨脹至一定程度後，迅速取出餐盤，觀察棉花糖受熱膨脹及融化的程度，取兩處最高溫的位置，用尺量測距離L，此長度即為微波的半波長 $\left ( L= lambda/2 \right )$ 。接著觀察微波爐的規格（一般而言背面有標示），查出其微波頻率 $f$ ，將 $f$ 乘上 $lambda\left ( 2L \right )$ ，即得光速 $c$ 。

原理思考

精密的光速量測需要昂貴的設備與儀器，我們是否有機會利用簡單的方法估計出光速？至少在數量級上正確。

家用微波爐的微波頻率是定值， $f= 2,450MHz$ , 微波是電磁波的一種，在空氣中行進的波速接近光速 $\left ( c= 3*108m/s \right )$ 。微波爐在運作時，微波在腔體內形成駐波（standing waves）,駐波的腹點(anti-nodes)微波功率最高、節點(nodes)的功率為零，所以微波爐運作時，必須不斷轉動，避免食物的某些位置剛好在節點上，無法加熱；而某些點一直在腹點上，過度加熱。這個實驗裡，故意將轉盤取出，就是希望找出節點（功率為零）和腹點（功率最高）的位置。根據駐波的定義，兩節點或兩腹點間的距離為波長的一半，所以我們量測棉花糖融得最厲害的兩點（腹點），就可以知道微波的波長了。再利用波速等於波乘乘以頻率的公式，就可以迅速計算出微波的速度、也就是光速。

製作

朱慶琪

撰稿

朱慶琪

發佈於物理

黑體輻射

目的

利用簡單的空腔輻射(cavity radiation)模型，模擬黑體輻射(Black Body radiation)。

實驗

實驗裝置：任意紙盒或容器，不透光即可。需經簡易的加工過程，見以下說明。

原理思考

讓我們說明為什麼狹縫是最「黑」的？

解釋一下什麼是「黑」，當沒有任何光線從一個物體的表面反射到我們眼中時，我們會說這個物體是黑的。在狹縫處，因為沒有任何光線從盒子內部透過狹縫發出來；而所有外界進入狹縫的光，都被「限

制」在盒子裡，也就是說沒有任何光線由狹縫到達我們的眼中，所以我們看來最黑。而其他種類的筆所劃的黑線，表面多少都會反射一些光線，這些光線到達我們眼中，使他們看起來都沒有那麼「黑」，

這就是背後簡單的原理。

討論

1.黑體輻射對近代物理發展史上的角色為何？

2.黑體一定是黑的嗎？

關於實驗

在學習黑體輻射這個概念時，教科書最常引用的例子便是空腔輻射。然而利用「一個開了小孔的空腔」去想像「黑體輻射」這樣的概念時，恐怕許多人都覺得很困難。這個簡單

實驗提供你一個方法，能快速又具體地理解這個抽象的概念。

製作方法

找一個紙盒，拆開來將內面（最好是白色或淺色）翻出來，重新黏合後將邊緣的細縫都封起來，達到不透光的目的。接著在紙盒上用小刀化一道狹縫，大約1 mm寬即可，長度不拘。然後在這道狹縫的兩旁用黑色的筆畫幾道一樣長度寬度的線（你可以用所有你手邊有的任何種類黑色的筆；鉛筆、簽字筆、鋼珠筆、奇異筆、白板筆…），到此就大功告成了。接下來拿著這個盒子給你的同學朋友看，問他哪一條黑線「比較黑」？以圖片上的五條線而言，所有的人都會回答左邊數來第二條最「黑」。此時將盒子靠近他們，他們會非常訝異原來最黑的線其實是個縫！如果他們學過黑體輻射，此時應該能夠心領神會了，瞭解為什麼空腔的一個孔（縫）可以模擬黑體輻射。

製作

v.1 朱慶琪

指導老師

朱慶琪、林留玉仁

撰稿

朱慶琪