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　　這個問題是卡羅·戈特利布·依勒(Carl Gottlieb Ehler, 1685–1753)發現的，他是一位數學家，同時也是哥德尼斯堡(Königsberg)附近小鎮的鎮長。哥德尼斯堡這個小城鎮被普瑞格爾河(Pregel River)貫穿，在河中有兩座小島，並且有七座橋使小島能夠與河岸連接。卡羅從小就常在河附近遊玩，並且對這兩個小島和這些橋樑瞭若指掌，但是有一個問題一直困擾著他：是否有可能找出一條路線，使在只通過每座橋一次的情況下經過所有的橋？1736年，當年29歲的數學家尤拉(Euler, 1707-1783)收到了卡羅的信後，證明了七橋問題是無解的。

觀察可以一次走完的圖形和不能一次走完的圖形，有什麼不一樣的特性？

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原理思考

為什麼將圖形上的頂點分成奇數點和偶數點，可以證明這個圖形能否一筆畫完成？七橋問題為什麼無解？

尤拉在解決這個問題的時候，將圖形上的頂點分成奇數點（過點上的線段數量是奇數）及偶數點（通過點上的線段數量是偶數）。尤拉發現奇數點的數量只能是０或是２，原因是因為偶數點連接的線段（路徑）有偶數條，為了符合線段不重複的規則，一進一出剛好是２條或是２的倍數線段；奇數點則扣除有進有出的線段（等同於偶數點），但還需要再加上一條線段，而在這條線段上的方向性，就決定了這個奇數點是一筆劃的終點或是起點。終點或起點在一筆劃的規則中顯然只能各有一個，這就是為什麼奇數點的數量只能是０或２了。 符合尤拉圖原則的圖形，其偶數點上的路徑都是一進一出、成雙成對。

符合尤拉圖原則的圖形，其偶數點上的路徑都是一進一出，成雙成對。

符合尤拉圖原則的圖形，其奇數點如果最後一條路徑是出去，代表這一個奇數點是起點；相反的，如果最後一條路徑是進來，代表這一個奇數點是起點。

尤拉將原本的地圖簡化成拓樸學上等價的圖示，用A, B, C, D四個點表示河川的南北兩岸以及兩座小島。從圖中可以發現，這個圖形的奇數點有4個，依照以上的原理，發現並不滿足尤拉圖的原則，因此沒有任何走法可以通過每個線段卻不重複。 

延伸問題 有沒有辦法畫出含有奇數個奇數點的圖形？為什麼？ 

先不管是否能一筆畫通過，有沒有辦法畫出含有奇數個奇數點的圖形呢？我們先從兩個點開始，兩個點中間有兩條線相連時，兩個節點都會是偶數點。讓我們再加一條線試試看，兩個點都變成了奇數點。由此可知，每加上一條線，兩側的端點，都會改變奇偶性。因此有其中一個節點是奇數點的話，一定會有另外一個節點也是奇數點，因此在圖形中奇數點是無法單獨存在的。

參考資料

蔡承志（譯）（2014）。為什麼公車一次來3班?：生活中隱藏的81個數學謎題（原作者：R. Eastaway & J. Wyndham）。台北市：臉譜出版。（原著出版年：1998）

製作 盧楷文

指導老師 朱慶琪

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