這個問題是卡羅·戈特利布·依勒(Carl Gottlieb Ehler, 1685–1753)發現的，他是一位數學家，同時也是哥德尼斯堡(Königsberg)附近小鎮的鎮長。哥德尼斯堡這個小城鎮被普瑞格爾河(Pregel River)貫穿，在河中有兩座小島，並且有七座橋使小島能夠與河岸連接。卡羅從小就常在河附近遊玩，並且對這兩個小島和這些橋樑瞭若指掌，但是有一個問題一直困擾著他：是否有可能找出一條路線，使在只通過每座橋一次的情況下經過所有的橋？1736年，當年29歲的數學家尤拉(Euler, 1707-1783)收到了卡羅的信後，證明了七橋問題是無解的。

觀察可以一次走完的圖形和不能一次走完的圖形，有什麼不一樣的特性？

試試看自己動手設計題目，將會有意想不到的收穫！

原理思考

為什麼將圖形上的頂點分成奇數點和偶數點，可以證明這個圖形能否一筆畫完成？七橋問題為什麼無解？

尤拉在解決這個問題的時候，將圖形上的頂點分成奇數點（過點上的線段數量是奇數）及偶數點（通過點上的線段數量是偶數）。尤拉發現奇數點的數量只能是０或是２，原因是因為偶數點連接的線段（路徑）有偶數條，為了符合線段不重複的規則，一進一出剛好是２條或是２的倍數線段；奇數點則扣除有進有出的線段（等同於偶數點），但還需要再加上一條線段，而在這條線段上的方向性，就決定了這個奇數點是一筆劃的終點或是起點。終點或起點在一筆劃的規則中顯然只能各有一個，這就是為什麼奇數點的數量只能是０或２了。 符合尤拉圖原則的圖形，其偶數點上的路徑都是一進一出、成雙成對。

符合尤拉圖原則的圖形，其偶數點上的路徑都是一進一出，成雙成對。

符合尤拉圖原則的圖形，其奇數點如果最後一條路徑是出去，代表這一個奇數點是起點；相反的，如果最後一條路徑是進來，代表這一個奇數點是起點。

尤拉將原本的地圖簡化成拓樸學上等價的圖示，用A, B, C, D四個點表示河川的南北兩岸以及兩座小島。從圖中可以發現，這個圖形的奇數點有4個，依照以上的原理，發現並不滿足尤拉圖的原則，因此沒有任何走法可以通過每個線段卻不重複。 

延伸問題 有沒有辦法畫出含有奇數個奇數點的圖形？為什麼？ 

先不管是否能一筆畫通過，有沒有辦法畫出含有奇數個奇數點的圖形呢？我們先從兩個點開始，兩個點中間有兩條線相連時，兩個節點都會是偶數點。讓我們再加一條線試試看，兩個點都變成了奇數點。由此可知，每加上一條線，兩側的端點，都會改變奇偶性。因此有其中一個節點是奇數點的話，一定會有另外一個節點也是奇數點，因此在圖形中奇數點是無法單獨存在的。

參考資料

蔡承志（譯）（2014）。為什麼公車一次來3班?：生活中隱藏的81個數學謎題（原作者：R. Eastaway & J. Wyndham）。台北市：臉譜出版。（原著出版年：1998）

製作 盧楷文

指導老師 朱慶琪

Twitter

活動資訊

106秋季假日科學廣場

本活動配合「上帝的建築師：高地誕生165周年大展」(下稱高第展)發想，主講人朱慶琪老師，身為中央大學物理系副教授暨科學教育中心主任，兼任高第展科普展區顧問，帶領親子一同解構高第建築裡的科學秘密。邀請大人在數學與幾何中看建築；孩童在動手做的過程中玩藝術。

活動大綱

1. 拋物線

2. 懸鏈線

3. 雙曲面

4. 雙曲拋物面劈錐曲面

5. 劈錐曲面

6. 高第多面體 

7. 高第魔方

8. 動手做：截角八面體

9. 動手做：簡易雙曲面

活動照片

Twitter

活動資訊

106春季假日科學廣場

活動大綱：

1. 利用麵包板做小夜燈與設計四彩變化LED燈
2. 從抗太陽輻射之防曬乳液與太陽眼鏡認識紫外線檢驗
3. 濕度檢測到創新產品設計

活動照片

Twitter

活動資訊

時間：2017/07/31-08/04

地點：中央大學科學教育中心

活動內容

活動照片

主辦單位：茁實科學教育有限公司
協辦單位：中央大學科學教育中心

Twitter